Período de un elemento en el producto directo de semigrupos finitos

Question

Dejemos que $S$ y $T$ sean semigrupos finitos y que $(x,y)\in S\times T$ . ¿Cuál es el periodo de $(x,y)$ ?

Sé que si $$\mathrm{index}(x)=\mathrm{index}(y)$$ , entonces el período de $(x,y)$ es $$\mathrm{lcm(period}(x),\mathrm{period}(y))$$ . ¿Qué podemos decir en caso de que $\mathrm{index}(x)\neq \mathrm{index}(y)$ ?

Answer 1

El período es también el $$\mathrm{lcm(period}(x),\mathrm{period}(y))$$ En efecto, supongamos que $x^{i+p} = x^i$ y $y^{j+q} = y^j$ . Sea $k = \max\{i, j\}$ . Entonces $x^{k+p} = x^k$ y $y^{k+q} = y^k$ y se vuelve al resultado conocido.