Encuentre $x, y\in\mathbb Z$ tal que $\frac{x}{2} + \frac{x}{y} - \frac{3}{2} = \frac{10}{y}$

Question

Encuentre $x, y\in\mathbb Z$ tal que $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{y} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{10}{y}$

Mi intento

$$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{y} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{10}{y} \iff \dfrac{y}{2} = \dfrac{-x + 10}{x-3} \ \ (x\neq 3,\ 10, \ y\neq 0, \ x, \ y\in\mathbb Z)$$

Dejemos que $t = \dfrac{y}{2} = \dfrac{-x + 10}{x-3}.$ Tenemos $y = 2t\neq 0,$ y $x = \dfrac{3t + 10}{t + 1} = 3 + \dfrac{7}{t+1}.$

Entonces, $x\in\mathbb Z \Leftrightarrow (t+1)|7 \Leftrightarrow t\in \{-8, -2, 6\}.$

Por lo tanto, $$x\in \{-4, 2, 4\}, \mbox { and } y\in \{-16, -4, 12\}.$$

Answer 1

Tenga en cuenta que enumerar los posibles valores como conjuntos no es lo suficientemente conciso, ya que sugiere que, por ejemplo, x=4 e y=-16 funcionan como solución. En su lugar, debes emparejar tus respuestas.

Además, el método que has utilizado sí da soluciones correctas, pero no es exhaustivo. Mejor prueba con un método de descomposición diofántica más estándar.

$$ (y+2)(x-3) = 14 $$