En $\mathcal O_{-53}$ tenemos $54 = 3^3 \cdot 2 = (1+\sqrt{-53})(1-\sqrt{-53})$ . ¿Cuál es la factorización del ideal $(54)$ en $\mathcal O_{-53}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como dije en mi comentario, si sabes cómo $(2)$ y $(3)$ se tiene la factorización de $(54)$ .
Desde $-53\equiv3\pmod4$ , $2$ es ramificado, por lo que los únicos primos ramificados son $2$ y $53$ . Desde $-53\equiv1\pmod3$ el primer $3$ se divide en $\Bbb Z[\sqrt{-53}\,]$ . Así que deberíamos tener $(2)=\mathfrak p_2^2$ y $(3)=\mathfrak p_3\mathfrak p_3'$ .
Ciertamente $\mathfrak p_2=(2,\sqrt{-53}-1\,)=(2,\sqrt{-53}+1\,)$ , por lo que obtenemos \begin{align} \mathfrak p_2^2&=(2,\sqrt{-53}-1\,)(2,\sqrt{-53}+1\,)\\ &=(4,2\sqrt{-53}+2,2\sqrt{-53}-2,54)\\ &=(2)\,. \end{align} Del mismo modo, se espera que el $\mathfrak p_3$ 's será $(3,\sqrt{-53}\pm1)$ , dándonos \begin{align} \mathfrak p_3\mathfrak p_3'&=(3,\sqrt{-53}-1)(3,\sqrt{-53}+1)\\ &=(9,3\sqrt{-53}+3,3\sqrt{-53}-3,54)\\ &=(9,3\sqrt{-53}+3,6)\\ &=(3)\,. \end{align}
Así que tienes tu factorización de $(54)$ .
En general, este tipo de cálculo es fácil una vez que se identifica cuáles son los ideales primos de arriba o parece que deberían serlo. Nótese que no necesitamos calcular el número de clase ni nada parecido. Por supuesto, la historia es completamente diferente en el caso cuadrático real, porque las unidades hacen las cosas mucho más difíciles.
