Dejemos que $S$ sea una superficie K3 y $C \subset S$ sea una curva suave de género $g$ (supongamos que representa una clase de homología primitiva). ¿Es posible calcular la dimensión del sistema lineal $|C|$ ¿sólo a partir de estos datos?
Respuesta
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Sí.
En primer lugar, la fórmula de adición le dice que $$K_C = (K_S + O_S(C))_{|C} = O_S(C)_{|C}$$
así que $C^2=\text{deg }K_C=2g-2$ .
Por otro lado, Riemann-Roch dice que $$\chi(O_S(C))=\chi(O_S)+\frac12 C \cdot \left(K_S +C \right)\\=2+\frac12 C^2.$$
Ahora el lado izquierdo es $$h^0(O_S(C))-h^1(O_S(C))+h^2(O_S(C))$$ por lo que para conseguir lo que queremos tenemos que ser capaces de decir algo sobre la $h^1$ y $h^2$ condiciones. En general esto puede ser difícil, pero el hecho de que estemos en un $K3$ la superficie salva el día:
- En primer lugar, la dualidad de Serre dice $h^2(O_S(C))=h^0(K_S-O_S(C))=h^0(O_S(-C))=0$ desde $-C$ no es eficaz.
- En segundo lugar, la dualidad de Serre también dice $h^1(O_S(C))=h^1(O_S(-C))$ . ¿Cómo ayuda eso? Bueno, tenemos la secuencia ideal de gavillas para $C$ :
$$ 0 \rightarrow O_S(-C) \rightarrow O_S \rightarrow O_C \rightarrow 0;$$ tomando la secuencia exacta larga de cohomología asociada, y utilizando $h^1(O_S)=0$ (porque $S$ es $K_3$ ) obtenemos $h^1(O_S(-C))=0$ como queremos.
Así que al final $h^0(O_S(C))=\chi(O_S(C))=2+\frac12 C^2 = 2+ (g-1)=g+1$ . O, si prefieres expresarlo en términos de sistemas lineales, $\text{dim }|C|=g$ .
