Mapas homotópicos a la derecha si son homotópicos en cadena

Question

Supongamos que la estructura del modelo en $Ch(R)$ (complejos de cadenas de módulos de izquierda sobre el anillo $R$ ) en el que las fibraciones son epimorfismos adimensionales (es decir, proyecciones) y las equivalencias débiles son isomorfismos homológicos (no necesito cofibraciones, así que no las describiré).

Como sugiere el título, necesito demostrar que dos mapas en cadena $f,g:B \to X$ son homotópicas a la derecha $\iff$ son homotópicos en cadena. El " $\Longleftarrow$ "es fácil, ya que Hovey proporciona un objeto de ruta que hace el trabajo ( $P_n:=X_n\oplus X_n\oplus X_{n+1}$ con $d(x,y,z):=(dx,dy, -dz+x-y))$ .

¿Cómo puedo probar el " $\Longrightarrow$ ", dado que la homotopía correcta podría realizarse con cualquier objeto de camino, no necesariamente el sugerido? Por cierto, puedo demostrarlo si asumo que la homotopía se obtiene efectivamente utilizando ese objeto camino en particular.

¡¡Gracias de antemano por cualquier pista!!

Answer 1

Intenté usar el functor de sustitución cofibrante, ya que un dominio cofibrante simplifica el problema (como se expresa en los comentarios).

Lo que he obtenido es que $f \circ q_B \sim g \circ q_B$ (cadena homotópica) donde $q_B$ es una fibración trivial, ya que ahora cualquier objeto de trayectoria funciona y por lo tanto puedo usar la sugerida por el autor.Pero desafortunadamente no parece ser muy útil: Me gustaría demostrar que $f,g$ son homotópicos en cadena, pero si $B$ es acíclico, por ejemplo, $q_B$ podría ser el mapa cero y así no se captarían muchas informaciones.

Answer 2

La implicación "homotopía derecha implica homotopía en cadena" es en realidad falsa, a menos que se asuma que $B$ es un complejo cofibrante. He aquí un ejemplo.

Dejemos que $B$ sea el complejo $\Bbb Z/2$ concentrado en el grado cero, y que $C$ sea el siguiente complejo concentrado en grados (homológicos) $0$ , $1$ , $2$ : $$ \cdots 0 \to \Bbb Z \mathop{\longrightarrow}^2 \Bbb Z \mathop{\longrightarrow}^{(1,1)} \Bbb Z/2 \times \Bbb Z/2 \to 0. $$ Tenemos los dos mapas $B \to C$ dada por las inclusiones de los dos factores de $\Bbb Z/2$ y no son homotópicos en cadena (no hay mapas de la componente de grado cero de $B$ al grado $1$ componente de $C$ ).

Sin embargo, afirmo que estos mapas son realmente homotópicos a la derecha. De hecho, consideremos el mapa $C \to B$ dado en grado cero por el mapa $(n,m) \mapsto n+m$ . Este mapa es una suryección, y si se calcula la homología de $C$ se encuentra que es un cuasi-isomorfismo. Así que, de hecho, hemos construido mapas $$ B \oplus B \to C \mathop{\twoheadrightarrow}^\sim B $$ donde el primer mapa es una cofibración y el segundo una fibración acíclica. Esto significa que $C$ est un objeto de ruta para $B$ y, por tanto, cualquier mapa $C \to Y$ est una homotopía derecha entre los dos mapas resultantes $B \rightrightarrows Y$ . En particular, podemos utilizar el mapa de identidad $C \to C$ como una homotopía derecha entre las dos inclusiones.

(Como nota, dado un complejo $B$ , un objeto camino lleva un "ejemplo universal" de dos mapas homotópicos de derecha, y si son homotópicos en cadena allí entonces son homotópicos en cadena en todas partes).