$\emptyset \vdash \top$
Intenté demostrar esto utilizando el sistema de pruebas de Hilbert y esto es lo que obtuve:
(1) $ \top \equiv (\bot \equiv \bot)$ Axioma: $\top$ contra. $\bot$
(2) $ (\top \equiv \top)\equiv (\top \equiv (\bot \equiv \bot))$ por Leibniz
(3) $(\top \equiv \top)$ por la ecuanimidad en (2) y (1)
Así que aquí es donde estoy atascado. Estoy confundido sobre cómo podría usar algún axioma para aislar $\top$ . Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias. En mi libro de texto si nuestros supuestos son los $\emptyset$ entonces podemos asumir $\top$ es un teorema absoluto, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
Lista de axiomas: ( https://i.stack.imgur.com/SjSH1.jpg )
Axiomas de la lógica booleana $$\begin{array} \\ \text{ Associativity of } \equiv & ((A \equiv B) \equiv C) \equiv(A \equiv(B \equiv C)) \\ \text { Symmetry of } \equiv & (A \equiv B) \equiv(B \equiv A) \\ \text { Tvs. } \perp & T \equiv \perp \equiv \perp \\ \text { introduction of } \neg & \neg A \equiv A \equiv \perp \\ \text { Associativity of } \vee & (A \vee B) \vee C \equiv A\vee (B\vee C) \\ \text { Symmetry of } \vee & A \vee B \equiv B \vee A \\ \text { Idempotency of } \vee & A \vee A \equiv A \\ \text {Distributivity of } \vee \text{ over } \equiv & A \vee(B \equiv C) \equiv A \vee B \equiv A \vee C \\ \text { Excluded Middle } & A \vee \neg A \\ \text { Golden Rule } & A \wedge B \equiv A \equiv B \equiv A \vee B \\ \text { Implication } & A \rightarrow B \equiv A \vee B \equiv B \end{array} $$ Reglas primarias de inferencia $$\frac{A, A \equiv B}{B}\\~\\ \frac{A}{C[\mathbf{p}:=A] \equiv C[\mathbf{p}:=B]}$$
Libro utilizado: Lógica matemática de George Tourlakis
