Construcción de la teoría E de Morava

Question

Estoy terminando un proyecto de verano que incluía un cálculo en Morava $E$ -teoría. Como conocimiento de fondo tuve que investigar cómo las teorías de Johnson-Wilson $E(n)$ y Morava $K$ -se construyeron teorías. Esto era manejable porque ya había recorrido parte del camino y hay mucho apoyo, por ejemplo, en forma de apuntes del curso de Hopkins. Luego, a principios de mayo, me dediqué a buscar una construcción de Morava $E$ -teoría, lo que me llevó a algunas conclusiones:

• Las palabras "Morava $E$ -teoría" no determinan de qué objeto se está hablando; hay un montón de Morava ligeramente diferentes $E$ -teorías.
• La gente suele confundir a Morava $E$ -con la teoría (completa) de Johnson-Wilson. Una fuente incluso afirmaba (sin citarlo) que una era un módulo libre finito sobre la otra, y que por tanto no debía preocuparme por la diferencia.

Al final, no necesitaba saber mucho sobre $E_n$ más allá de un par de propiedades formales para elaborar las líneas generales de mi cálculo, así que lo dejé pasar y fingí que existía un espectro que hacía lo que yo esperaba.

Sin embargo, ahora estoy llegando a un punto en el que comprender lo que realmente estoy haciendo sería valioso. En orden decreciente de importancia, ¿puede alguien proporcionar una referencia que...

• ... construye una familia de Morava $E$ -teorías. Cualquier familia sería un comienzo. Estoy especialmente interesado en una con un anillo de coeficiente de la forma $\mathbb{Z}_p[\![v_1, \ldots, v_{n-1}]\!][v_n^{\pm 1}]$ .
• ... ilustra que $\mathrm{spf}\,(E_n)^* \mathbb{C}P^\infty$ es la deformación universal de $\mathrm{spf}\,K(n)^* \mathbb{C}P^\infty$ a grupos formales sobre espectros formales de anillos completos y locales con campo de residuos $\mathbb{F}_p[v_n^{\pm 1}]$ . La observación anterior sobre la comparación entre la teoría de Johnson-Wilson y Morava $E$ La teoría de Johnson-Wilson me hizo sentir particularmente incómodo a este respecto; no tengo claro que el grupo formal asociado a la teoría de Johnson-Wilson deba considerarse como la deformación universal del grupo formal de Honda. Aclarar esto también estaría bien.
• ... también muestra que la reducción de la deformación universal al "mod $p$ "existe como un espectro, y el mapa de reducción existe como un mapa de espectros. Es decir, existe un espectro anular complejo y estructurado $E_n/p$ con anillo de coeficientes $\mathbb{F}_p[\![v_1, \ldots, v_{n-1}]\!][v_n^{\pm 1}]$ cuyo grupo formal asociado es la deformación universal del grupo formal Honda a anillos completos y locales de característica $p$ .
• ... también muestra que la reducción de la deformación universal modulo la $n$ th potencia de su ideal máximo existe como un espectro, y el mapa de reducción existe como un mapa de espectros.
• ... demuestra este hecho sobre $E_n$ siendo un módulo libre finito sobre $E(n)$ al menos para una interpretación adecuada del símbolo " $E_n$ ".

Puede que ni siquiera sean ciertos los puntos 3 y 4, pero tengo esperanzas. Aun así, ¡seguro que todo esto está catalogado en alguna parte!

Answer 1

En cuanto a lo que debería ser la teoría E de Morava: Morava E-theory siempre viene implícita la elección de un campo de residuos perfecto de característica positiva y una ley de grupo formal de altura finita sobre este campo. A veces se toma una ley de grupo formal muy específica, pero no hay razón para ser restrictivo. El tipo de homotopía subyacente del espectro puede no cambiar de forma muy interesante, pero la estructura multiplicativa hace (al igual que muchos anillos que son diferentes de forma interesante pueden tener los mismos grupos abelianos subyacentes). Esto se convierte en un problema más serio con cosas como $BP\langle n\rangle$ y las teorías de Johnson-Wilson porque hay múltiples orientaciones posibles no equivalentes que se ven básicamente igual cuando se escriben los anillos de grupos de homotopía.

Sus puntos en orden:

• Construcción de una familia de teorías E de Morava. (El anillo de coeficientes que enumeras es implícitamente el anillo de coeficientes de una teoría completa de Johnson-Wilson, y eso sólo si interpreto tus paréntesis de series de potencia como "invertir v _n y luego completa" debido a la cuestión de la calificación). Las teorías de Johnson-Wilson y las teorías de Johnson-Wilson completadas, con los nombres que has dado a los generadores, satisfacen el criterio de Landweber y, por lo tanto, puedes producirlas de forma fácil como espectros mediante el teorema del functor exacto de Landweber. Las teorías E de Morava son algo más difíciles; siguen siendo exactas de Landweber, pero para demostrarlo necesitas saber que el anillo de deformación universal de una ley de grupo formal de altura finita tiene una estructura particular relativa a las coordenadas de su serie p. Sin embargo, si quieres construir cualquiera de ellos como genuinos espectros de anillos conmutativos, tienes que utilizar el teorema de Goerss-Hopkins-Miller sobre las teorías E de Morava, utilizarlo con sus propiedades de funtorialidad para las teorías de Johnson-Wilson completadas, y no tienes suerte para las teorías de Johnson-Wilson no completadas, excepto en un puñado de casos muy específicos (algunos de los cuales pueden requerir que seas ligeramente flexible sobre lo que significa "Johnson-Wilson"). Para las referencias del teorema de Hopkins-Miller en el caso asociativo, están, por supuesto, las Notas sobre el teorema de Hopkins-Miller de Charles Rezk, aunque tienes una fuente mucho mejor a mano. El documento Goerss-Hopkins Problemas de módulos para espectros de anillos estructurados cubre la teoría de la obstrucción para hacer estos objetos conmutativos.
• En cuanto a la ilustración, el método que proponía en el párrafo anterior comenzó con el anillo de deformación universal y produjo la teoría E como su manifestación, lo que significa que cuando llegas aquí ya has terminado este paso. Ten en cuenta que tienes que tener un poco de cuidado con el tema de la gradación. El anillo de coeficientes de una teoría E de Morava en toda su gloria graduada es el anillo de deformación universal de una ley de grupo formal equipado con una elección de generador del espacio cotangente relativo (un torsor trivial para el grupo multiplicativo sobre la deformación universal de la ley de grupo formal).
• La reducción mod-p existe como espectro, pero no como conmutativo espectro de anillos. Cualquier espectro de anillo conmutativo con $p=0$ en sus grupos de homotopía es un módulo sobre el espectro de Eilenberg-Mac Lane ${\rm H}\mathbb{F}_p$ (esto se debe a que este espectro de Eilenberg-Mac Lane es en realidad el álgebra libre sobre la pequeña operada de 2 discos con $p=0$ !) y estos campos de residuos no se califican. Se puede demostrar que estos objetos residuales existen utilizando la teoría de la obstrucción; hay varias referencias, pero permítanme que incluya específicamente la de Vigleik Angeltveit Homología topológica de Hochschild y cohomología de espectros de anillos A-infinitos .
• El módulo de la n'ª potencia del ideal máximo es un poco más complicado y tendría que ir a comprobar si la teoría de la obstrucción funciona necesariamente. Si estás dispuesto a matar las potencias n'th de los generadores del ideal maximal entonces la teoría de la obstrucción del punto anterior todavía funciona, porque estás matando una secuencia regular de generadores. De nuevo, esto sólo produce objetos asociativos en lugar de conmutativos.
• El hecho de que $E_n$ es un módulo libre finito sobre el completado $E(n)$ es una consecuencia formal del cálculo de los grupos de homotopía de ambos implicados. El objeto de la izquierda tiene grupos de homotopía $$ \mathbb{Z}_{p^n}[\![u_1,\ldots,u_{n-1}]\!][u^{\pm 1}] $$ con $|u_i| = 0, |u| = 2$ y el objeto de la derecha tiene grupos de homotopía como el subring $$ \mathbb{Z}[v_1,\cdots,v_n,v_n^{-1}]^\wedge $$ donde $v_i = u^{p^i - 1} u_i$ para $1 \leq i < n$ , $v_n = u^{p^n - 1}$ y la terminación se toma con respecto a la intersección del ideal máximo con este subring. Una vez que se ha comprendido lo que esto implica, se encuentra que los grupos de homotopía son un módulo libre finito y, como consecuencia, el propio espectro es un módulo libre finito.