¿Cómo demostrar que una secuencia de una función converge uniformemente?

Question

Para $n \in \mathbb{N}$ , defina la fórmula, $$f_n(x)= x/(2n^2x^2+8),\quad x \in [0,1].$$ Demostrar que la secuencia $f_n$ converge uniformemente en $[0,1]$ , como $n \to \infty$ .

Sé que la definición dice $f_n$ converge uniformemente a $f$ si se da $\forall \epsilon > 0$ , $\forall n \geq N$ , de tal manera que $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon, \forall n \geq N$ y $\forall x \in [0,1].$

Primero miré la convergencia puntual y encontré que $$\lim_{n \rightarrow \infty} x/(2n^2x^2+8) = 0, \forall x \in [0,1].$$

Entonces, ¿cómo puedo utilizar esto para elegir un $n \geq N$ tal que $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ ?

En este momento, tengo

"Prueba: Sea $\epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que, n $\geq N \Rightarrow 1/(2n^2+8) < \epsilon$ ,

por $|f_n(x) - 0| = |x/(2n^2x^2+8)| \leq |x^2/(2n^2x^2+8)| \leq 1/(2n^2x^2+8) \forall x \in [0,1].$

Desde $\lim_{n \to \infty} x/(2n^2x^2+8) = 0, \forall x \in [0,1]$ , $f_n(x)$ convergerá uniformemente a $O$ en $[0,1]$ ."

¿Es esto correcto? ¿Me falta algo? ¿Hay algo que no es correcto? No estoy seguro de mi elección de $N$ . Por favor, y gracias.

Answer 1

problema relacionado: (I) , (II) , (III) . He aquí una técnica sistemática. Para encontrar $\sup_{0\leq x\leq 1} |f_n(x)-f(x)| $ se necesita maximizar la función $\Big|\frac{x}{2n^2x^2+8}\Big|$ en el intervalo $[0,1]$ . Ahora, dejemos que

$$ g(x)=\frac{x}{2n^2x^2+8} \implies g'(x) = \frac{4-n^2 x^2}{(2n^2x^2+8)^2}=0 \implies x=\frac{2}{n}$$

da el máximo de la función $g(x)$ que es $g(2/n)=8/n$ . Puede comprobarlo verificando el signo de $g''(x)$ que debe ser $< 0$ . Por lo tanto, tenemos

$$ \sup_{0\leq x\leq 1} |f_n(x)-f(x)|= \sup_{0\leq x\leq 1} \Big|\frac{x}{2n^2x^2+8}\Big|=\frac{8}{n} < \epsilon. $$

Answer 2

Puedes escribir $$f_n(x)={1\over n} g(n\>x)\qquad(0\leq x\leq 1)$$ con $$g(t)={t\over 2t^2+8}\qquad(0\leq t<\infty)\ .$$ Desde $g(t)$ converge a $0$ para $t\to\infty$ ya podemos decir que $g$ está acotado. Se puede obtener una estimación cuantitativa como sigue: Para $t>0$ uno tiene $$0<g(t)={1\over 8}\ {2\over{t\over 2}+{2\over t}}\leq{1\over 8}\ .$$ Por lo tanto, ahora tenemos $$|f_n(x)|\leq{1\over 8n}\qquad(n\geq1,\ 0\leq x\leq1)\ ,$$ que muestra que el $f_n$ convergen uniformemente a $0$ en $[0,1]$ .

Answer 3

Otra forma de maximizar :

$\dfrac{x}{2n^2x^2+8}\leq \dfrac{x}{8nx}=\dfrac{1}{8n}$ donde utilizamos la desigualdad AM-GM : http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means para mostrar

$\dfrac{2n^2x^2+8}{2} \geq \sqrt {2n^2x^2 \cdot 8} \ \ \ \ $ Aplicar esta sencilla desigualdad suele ser una buena primera forma de encontrar un sumo para la función si se trata de una suma. Así que como la función converge puntualmente a $f(x)=0$ Tenemos el siguiente resultado:

$\lim_{n \to \infty}\sup_{0\leq x\leq 1} |f_n(x)-f(x)|=\lim_{n \to \infty}|\dfrac{1}{8n}|=0$