Dejemos que $p$ sea un primo, $p\equiv 3$ mod $4$ . Numéricamente parece que $$ \prod_{n=1}^{p-1}\left(1+n^2\right)\equiv 4\mod p. $$ ¿Cómo se puede demostrar esto? Para $p\equiv 1$ mod $4$ El producto es $0$ mod $p$ porque $-1$ es un residuo cuadrático.
Respuesta
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Trabajemos sobre el campo finito $\Bbb F_p$ con $p\equiv3\pmod 4$ . Se puede adosar $i$ a esto con $i^2=-1$ para obtener el campo finito $k=\Bbb F_{p^2}$ . Su producto es $$\prod_{n=1}^{p-1}(n^2+1)=\prod_{n=1}^{p-1}(n-i)(n+i)=f(i)f(-i)$$ donde $$f(X)=\prod_{n=1}^{p-1}(X+n)=X^{p-1}-1$$ (estamos trabajando en la característica $p$ ). Entonces $$f(i)=-1-1=-2.$$ Igualmente, $f(-i)=-2$ y así el producto original es $4$ .
