Cuál es el número de posibilidades a elegir $~80~$ números fuera del conjunto $~\{10,11,\cdots,99\}~$ con repetición y sin orden significativo

Question

¿Cuál es el número de posibilidades de elegir 80 números del conjunto $~\{10,11,\cdots,99\}~$ con repetición y sin orden significativo. En el que si un elemento que divide por $10$ con ningún Remanente de división seleccionado debe ser elegido al menos tantas veces como su $~10^{\text{th}}~$ dígito.

Ejemplo: si $~30~$ es elegido será elegido mínimo $~3~$ tiempos. De lo contrario, no se podría seleccionar.

He intentado resolverlo con Inclusión-Exclusión tomando la suma de todas las posibilidades y reduciendo de ella los siguientes grupos:

$A_2=$ todas las posibilidades que $20$ aparecerá sólo una vez $\binom{89}{79}$

$A_3=$ todas las posibilidades que $30$ aparecerá sólo una vez, o sólo dos veces $\binom{89}{79}$ + $\binom{89}{78}$ .

.

.

.

$A_9$

que me dan lo siguiente :

$$\binom{89}{79}-\Biggl(\sum_0^1 \binom{89}{79-i} + \sum_0^2 \binom{89}{79-i} + \sum_0^3 \binom{89}{79-i} +\sum_0^4 \binom{89}{79-i}+\cdots+\sum_0^8 \binom{89}{79-i}\Biggr)$$ y así sucesivamente

Creo, que estoy perdiendo el objetivo al tratar de manipular demasiado el problema en esta fórmula y seguro que tiene una forma más simple de calcularlo. pero no puedo poner el dedo en la llaga.

Por favor, aconsejen.

Answer 1

Se pide el número de soluciones enteras no negativas de $x_{10}+x_{11}+\dots+x_{99}=80$ con sujeción a $x_i\geq 0, x_{10}\geq 1, x_{20}\geq 2,\dots,x_{90}\geq 9$ .

Consideremos un cambio de variable., dejando que $y_{10}=x_{10}-1$ , dejando que $y_{20}=x_{20}-2$ , ..., $y_{90}=x_{90}-9$ y $y_i=x_i$ de lo contrario.

Ahora se busca el número de soluciones enteras no negativas de $y_{10}+y_{11}+\dots+y_{99}=35$ con sujeción a $y_i\geq 0$ para cada $i$ .

Esto puede resolverse mediante los enfoques tradicionales de estrellas y barras.

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Si esta pregunta se reformulara como si se preguntara de cuántas maneras se pueden distribuir las galletas a los niños, donde el décimo niño debe recibir al menos una galleta, el vigésimo niño debe recibir al menos dos galletas, etc... se puede explicar la solución anterior "repartiendo las galletas necesarias con antelación y distribuyendo las restantes a posteriori".