$C$ grupos de alto nivel

Question

Dejemos que $G = C_5×C_{12}×C_7$ . ¿Cuál es el elemento de mayor orden en $G$ ? ¿Cuántos elementos hay en $G$ del más alto nivel?

Necesitamos $\{(a,b,c):a^5=1 \, \, b^{12}=1 \, \, c^7=1 \}$

$(a,b,c)=(1,1,1)^n$

Necesita el mínimo común múltiplo de $5,12,7$ que es $420$ así que $n=420$ ¿verdad?

Para la segunda parte:

$C_5=\{1,x,x^2,...,x^4\}$

$1=1$ , $(x)^5=1$ , $(x^2)^5=1$ , y así sucesivamente para que todos $5$ elementos son de primer orden.

Para $C_7$ , todos $7$ elementos son de primer orden.

Pero para $C_{12}$ No sé cómo averiguar cuáles son los de más alto nivel.

Por favor, ayuda. Por favor, corrijan cualquier cosa que haya hecho mal.

Answer 1

Sí a su respuesta a la primera parte: el mayor orden es igual al mínimo común múltiplo del mayor orden de cada grupo $C_i$ .

Se pueden contar los elementos de orden $420$ en $G$ utilizando la observación de que si $a$ es un elemento de orden $5$ en $C_5$ , $b$ un elemento de orden $12$ en $C_{12}$ y $c$ y elemento de orden $7$ en $C_7$ entonces $(a,b,c)$ es un elemento de orden superior en $G$ .

En cuanto a $C_{12}$ :

Puedes pensar en $C_{12}$ como el grupo $(\mathbb Z / 13 \mathbb Z)^\times$ con la multiplicación modular. No debería ser demasiado difícil encontrar todos los generadores de $(\mathbb Z / 13 \mathbb Z)^\times$ .