Elementos de orden 3 en $PGL(4,\mathbb{R})$

Question

Necesito clasificar todos los elementos de orden 3 hasta la conjugación en $PGL(4,\mathbb{R})$ . Basta con dar un representante de cada clase de conjugación.

Mis pensamientos: considere en su lugar $GL(4,\mathbb{C})$ donde estos elementos son diagonalizables. Pero entonces debería encontrar una matriz en la misma clase de conjugación con coeficientes reales y no veo cómo puedo hacerlo.

Gracias.

Answer 1

No veo que haya ninguna ventaja en trabajar en ${\rm PGL}(4,\mathbb{R})$ aquí, en lugar de ${\rm GL}(4,\mathbb{R}).$ Si $x^{3}$ es una matriz escalar real, entonces un múltiplo escalar real de $x$ tiene orden $3,$ por lo que también podríamos suponer que $x$ tiene orden $3.$ Si quieres ser realmente pedante, entonces $\lambda x$ y $x$ nunca son conjugados en ${\rm GL}(4,\mathbb{R})$ para $\lambda \neq 1$ un número real no nulo, y $x$ realmente de orden $3.$ Ahora para $x$ realmente de orden $3,$ se puede ver fácilmente que $x$ tiene rastro $1$ o $-2.$ No voy a terminar el argumento, pero sólo existen las dos posibles clases de conjugación de elementos genuinamente de orden $3$ en ${\rm GL}(4,\mathbb{R}).$