Encuentre $\lim_{x \to 0} (\frac{\tan(x)}{x})^{\frac{1}{x}}$

Question

Encuentre $$\lim_{x \to 0} (\frac{\tan(x)}{x})^{\frac{1}{x}}$$

Mi primera idea para resolverlo fue intentar evaluarlo y luego aplicar la regla de L'Hospital. Esto es lo que conseguí: $$\left(\frac{\tan(x)}{x}\right)^\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x}\ln\left(\frac {\tan(x)}x \right)} $$ Sin embargo, esto es problemático, porque la regla de L'Hospital no es aplicable en el exponente, por lo que mi transformación no era un buen tiro. ¿Qué transformación debo aplicar para obtener la forma deseada?

Answer 1

Si quieres utilizar la regla de L'Hospital, observaría que el límite de estas dos funciones es igual: $\frac{ln(\frac{tanx}{x})}{x}$ y $\frac{(tan^2x+1)x-tanx}{xtanx}$ y luego reescribir el segundo término como $tanx + \frac{x-tanx}{xtanx}$ , señalando que $tanx$ es eliminado. Queda por encontrar $\frac{x-tanx}{xtanx}$ . Pero aplicando de nuevo la regla de L'Hospital, podemos ver que esto es equivalente a $\frac{-tanx}{1+\frac{x}{tanx}(1+tan^2x)}$ que va a $0$ desde $\frac{x}{tanx}$ va a $1$ . Así que su límite es $e^0$ que es $1$ .

Answer 2

Demostremos el resultado utilizando únicamente la regla de l'Hospital. Tenemos

$${\left(\frac{\tan \left(x\right)}{x}\right)}^{\frac{1}{x}} = \exp \left(\frac{\ln \left|\tan \left(x\right)\right|-\ln \left|x\right|}{x}\right) := \exp \left(\frac{f \left(x\right)}{x}\right)$$

Tenga en cuenta que $f \left(0\right) = 0$ y

$${f'} \left(x\right) = \frac{1}{\tan \left(x\right)} \left(1+{\tan }^{2} \left(x\right)\right)-\frac{1}{x} = \tan \left(x\right)-x \left(\frac{x}{\tan \left(x\right)}\right) \left(\frac{\tan x-x}{{x}^{3}}\right)$$

Por la regla de l'Hospital tenemos

$$ \frac{\tan \left(x\right)}{{x}} \mathop{\longrightarrow}\limits_{x \rightarrow 0} 1, \qquad \frac{\tan \left(x\right)-x}{{x}^{3}} \mathop{\longrightarrow}\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3}$$

se deduce que ${f'} \left(x\right) \mathop{\longrightarrow}\limits_{x \rightarrow 0} 0$ por lo que vuelve a solicitarlo la regla de l'Hospital obtenemos

$$\frac{f \left(x\right)}{x} \mathop{\longrightarrow}\limits_{x \rightarrow 0} 0 \quad \Longrightarrow \quad {\left(\frac{\tan \left(x\right)}{x}\right)}^{\frac{1}{x}} \mathop{\longrightarrow}\limits_{x \rightarrow 0} 1$$