Encuentre $\lim_{x \to 0} (\frac{\tan(x)}{x})^{\frac{1}{x}}$

Question

Encuentre $$\lim_{x \to 0} (\frac{\tan(x)}{x})^{\frac{1}{x}}$$

Mi primera idea para resolverlo fue intentar evaluarlo y luego aplicar la regla de L'Hospital. Esto es lo que conseguí: $$\left(\frac{\tan(x)}{x}\right)^\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x}\ln\left(\frac {\tan(x)}x \right)} $$ Sin embargo, esto es problemático, porque la regla de L'Hospital no es aplicable en el exponente, por lo que mi transformación no era un buen tiro. ¿Qué transformación debo aplicar para obtener la forma deseada?

Answer 1

$$\tan x=x+O(x^3)$$ $$\frac{\tan x}x=1+O(x^2)$$ $$\ln\frac{\tan x}x=O(x^2)$$ $$\ln\left[\left(\frac{\tan x}x\right)^{1/x}\right]=\frac1x\ln\frac{\tan x}x=O(x)$$ etc.

Answer 2

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}\ln\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)&=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}\ln\left(\dfrac{x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\cdots}{x}\right)\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}\ln\left(1+\dfrac{1}{3}x^{2}+\cdots\right)\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}x^{3}\right)^{2}+\cdots\right)\\ &=0. \end{align*} Así que el límite es $e^{0}=1$ .

Answer 3

Un truco fácil

$$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac1{x}} =\lim_{x\to 0}\exp\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{\tan x -x}{x}+1\right)\right) \sim \lim_{x\to 0}\exp\left(\frac{x}{3}\frac{\ln\left(1+\frac{x^2}{3}\right)}{\frac{x^2}{3}}\right)= \color{blue}{1}$$

Dado que $$\tan x -x \sim \frac{x^3}{3}~~and ~~ \lim_{h\to 0} \frac{\ln\left(1+h\right)}{h} = 1$$

Answer 4

Escribiría $$\exp\left({\frac{\ln(\tan(x))-\ln(x)}{x}}\right)$$

Answer 5

Por la serie de Taylor:

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\log (1+x)=x+o(x)$

Así:

$$\left(\frac{\tan x}{x}\right)^\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x}\ln\left(\frac {\tan x }x \right)}=e^{\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)}=e^{\frac{x}{3}+o(x)}\to e^0=1$$