Esta pregunta se deriva de otra que hice anteriormente aquí . Sin embargo, he encontrado una manera de reformularla y creo que esta reformulación es suficiente para justificar su publicación como una pregunta independiente. Mi pregunta inicial era, ¿existen tres triples pitagóricos primitivos diferentes tales que,
$$\frac{Area_1}{c_1^2}+\frac{Area_2}{c_2^2}=\frac{Area_3}{c_3^2}$$
Multiplicando por dos esto se puede reescribir como,
$$\frac{a_1b_1}{c_1^2}+\frac{a_2b_2}{c_2^2}=\frac{a_3b_3}{c_3^2}$$
Observando un término individual y aplicando el contexto de los triángulos rectángulos podemos obtener ahora,
$$\frac{ab}{c}=\frac{a}{c}*\frac{b}{c}=\sin{\theta}\cos{\theta}$$
Ahora revisando la pregunta original y haciendo un poco de álgebra,
$$\sin{\theta_1}\cos{\theta_1}+\sin{\theta_2}\cos{\theta_2}=\sin{\theta_3}\cos{\theta_3}$$
$$\sin{2\theta_1}+\sin{2\theta_2}=\sin{2\theta_3}$$
Donde $\theta$ es el ángulo para el origen del triple pitagórico primitivo asociado. Mi creencia (por si sirve de algo) es que para todos los triples pitagóricos primitivos,
$$\sin{2\theta_1}+\sin{2\theta_2}\neq\sin{2\theta_3}$$
Hasta ahora he probado esto para muchos triples pero no he podido encontrar un ejemplo contrario. En cuanto a demostrar esto último estoy bastante perdido en cuanto a encontrar una aproximación. Para mayor claridad, pregunto si se puede demostrar que no existen tres triplas primitivas tales que $$\sin{2\theta_1}+\sin{2\theta_2}=\sin{2\theta_3}$$ O encontrar un contraejemplo. Si mira mi pregunta inicial hubo algunos aportes útiles y te animo a que los mires para tener una idea/contexto.
EDITAR: Modifico esto para incluir también los triples no primitivos. Esto tiene sentido porque la solución a eso debería implicar la otra ya que estamos tratando con ángulos y un triple normal debería tener el mismo ángulo que el triple no primitivo escalado.
Edición 2: Además, a,b,c no pueden tener factores comunes.
