Encontrar la derivada de Lie de una 2 forma ejercicio

Question

Dejemos que $\beta=-x dx \wedge dy + ydy \wedge dz$ . El campo vectorial es $X=(y,0,z)$ Encuentra la derivada de Lie.

Intento que

$\begin{align}L_X \beta &=L_X (-x dx \wedge dy + ydy \wedge dz) = -x L_X(dx \wedge dy)+ y L_X(dy \wedge dz) \\ &= -x [ L_X(dx) \wedge dy + dx \wedge L_X(dy) ]+ y [ L_X(dy) \wedge dz + dy \wedge L_X(dz) ] \\ &= -x [ dL_X(x) \wedge dy + dx \wedge dL_X(y) ]+ y [ dL_X(y) \wedge dz + dy \wedge dL_X(z) ] \end{align}$

pero cómo puedo evaluar esto más adelante. No puedo ver lo que $L_X(x)$ por ejemplo sería?

Answer 1

No estoy seguro de cómo estás consiguiendo la segunda igualdad y no creo que sea cierto. Sin embargo, la derivada de Lie de una función es sólo la derivada direccional por lo que $L_X(x)=X(x)$ que parece una tontería. Pero tienes $X=y\frac{\partial}{\partial x}+z\frac{\partial}{\partial z}$ para que $X(x)=y$ .

De todos modos, una forma más sencilla de resolver este problema sería utilizar la fórmula mágica de Cartan $$L_X\beta=\iota_X(d\beta)+d(\iota_X\beta)$$ donde $\iota_X$ es el producto interior.