Un functor exacto de izquierda tal que $\text{Ext}^1$ no es $0$ .

Question

Dado un functor exacto izquierdo $$F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$$ entre dos categorías abelianas, a menudo se puede utilizar $\text{Ext}^1(F)$ (mejor llamarlo $H^1(F)$ ?!) para entender si $F$ es preservar una secuencia exacta.

De hecho, si $\text{Ext}^1(F) \equiv 0$ tout court entonces $F$ es exacta.

¿Sabe algo de la otra implicación?

Me temo que no hay ninguna posibilidad de obtener ese resultado. Podría ocurrir que, dada una secuencia exacta $$ 0 \to A \to B \to C \to 0,$$ la secuencia larga exacta es como $$0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \stackrel{0}{\to} \text{Ext}^1(F)(A) \to \dots,$$ por lo que el functor es exacto pero $\text{Ext}^1(F)(A) $ podría no desaparecer. Desgraciadamente no tengo un contraejemplo claro de la afirmación.

Si es falso, hasta qué punto ¿es de verdad?

Answer 1

Creo que quieres escribir $R^1F$ para ser el primer functor derivado derecho de $F$ . Cuando $F=\text{hom}(X,?)$ (o la otra variante) entonces se escribe $R^1F = \text{Ext}^1(A,?)$ . Es cierto que si $R^1F$ desaparece idénticamente entonces $F$ es exacta por la derecha: de la LES asociada a los funtores derivados por la derecha de $F$ se obtiene $$0 \to FA\to FB\to FC\to R^1A = 0$$

es exacta, de ahí el resultado. Lo contrario también es cierto, por supuesto. Si $F$ es exacta, entonces el definición de $R^1$ como la homología de la imagen de una resolución bajo $F$ (que sigue siendo exacta) muestra que debe desaparecer. Sólo para ser ordenados, los siguientes son equivalentes:

1. El functor exacto izquierdo $F$ es exacta,
2. Tenemos $R^nF=0$ por cada $n>0$ ,
3. Tenemos $R^1F=0$ .

De hecho, (1) implica (2) por la observación sobre las resoluciones. (2) implica (3) trivialmente, y (3) implica (1) por la LES a la que aludes. De hecho, se puede demostrar que (3) implica (2) por desplazamiento de dimensión, que a su vez implica (1) por la LES.