¿Es el subconjunto $\{ f : f \in L^2[0,1], ||f||_{\infty} \leq 1\}$ de $L^2[0, 1]$ un colector de Hilbert en el último espacio de Lebesgue?

Question

Sé que el conjunto $A$ de todas las funciones en $L^2[0,1]$ que están limitados por $1$ en la norma sup, $$ A = \{ f : f \in L^2[0,1], ||f||_{\infty} \leq 1\}, $$ no tiene puntos interiores en $L^2([0,1])$ . Pero, es un subconjunto convexo y acotado de $L^2([0,1])$ . Puede alguien recomendarme (si existe) qué material podría leer para aprender a analizar dicho conjunto para un Colector de Hilbert ¿estructura? Muchas gracias.

ACTUALIZACIÓN #1: En un intento de estudiar el espacio tangente de $A$ , miro las curvas en él, parametrizadas por el "tiempo". Denotando por ${\bf 1}$ el función de indicador una de esas curvas es: $$ f[t](x) = {\bf 1}_{[\, t, \; t+0.1 \, ]}(x), \quad 0 \leq t \leq 0.9. $$ Un incremento (para pequeños $h > 0$ y $t < 0.9 - h$ ) de esta curva es $$ f[t+h](x) - f[t](x), $$ pero si al dividir esto por $h$ y dejar que $h \rightarrow 0+$ la expresión resultante no tiende a ninguna función en $A$ en cambio, tiende a una diferencia de dos funciones delta de Dirac, que no está en $L^2[0,1]$ .

Answer 1

Esto no es una respuesta, de ahí lo de "wiki comunitaria"; más bien es otra pregunta. ¿Por qué se quiere una estructura de este tipo en $A$ ?

En primer lugar, es poco probable que dicha estructura, de existir, sea natural. El problema análogo en $\mathbb R^2$ busca una estructura de colector en el cuadrado unitario $$ \{ (x, y)\ :\ \max(|x|, |y|)\le 1\}. $$ Esto no puede ser un submanifold de $\mathbb R^2$ por sus esquinas (ya hablamos de esto ici por cierto). Por lo tanto, cualquier estructura múltiple que podamos ponerle será sólo un ejercicio académico, que probablemente no será útil.

En segundo lugar, el conjunto $A$ ya posee una gran cantidad de propiedades útiles. Es cerrado, acotado y convexo, lo que implica que es un conjunto de Chebyshev, como se dice en la teoría de la aproximación; cada elemento de $L^2(0,1)$ admite exactamente un elemento de mejor aproximación en $A$ . Ahora bien, la teoría de los colectores de dimensiones infinitas surge precisamente para intentar estudiar el problema de la mejor aproximación respecto a conjuntos no convexos, según tengo entendido al hojear el libro "Nonlinear approximation theory" de Braess. Buscar una estructura de colectores en este caso parece, por tanto, bastante inútil.