¿Av = Bv para todo v implica A = B?

Question

Si $A$ y $B$ son dos $4\times3$ matrices tales que $A\mathbb{v}=B\mathbb{v}$ para todos $\mathbb{v}\in\mathbb{R}^3$ entonces $A=B$ ?

Si no es cierto, ¿puede darme un ejemplo de ello?

Gracias.

Answer 1

Sí; una matriz está determinada unívocamente por la transformación lineal que define, y viceversa. Una prueba explícita es:

$$A=AI = A[e_1 \dots e_n] = [Ae_1 \dots Ae_n] \\ B=BI=B[e_1 \dots e_n] = [Be_1 \dots Be_n]$$

así que porque $Ae_i=Be_i$ obtenemos $A=B$ . Aquí $e_i$ es el $i$ vector de coordenadas unitario.