¿Prueba intuitiva de rango de filas = rango de columnas?

Question

¿Es posible dar una prueba intuitiva/elemental del teorema que dice que el rango de filas de una matriz cuadrada (de dimensión finita) es igual a su rango de columnas?

Answer 1

Supongamos que T es una traslación lineal tal que $T(x)=Ax$ y A sea una matriz m*n.

$T(x)=A_1x_1+A_2x_2+....+A_nx_n$ así que

rank(T)=rango del espacio de columnas de A

por otro lado :

$Rank(T)+null(T)=n$ ya que (T es una forma de traslación lineal $F^n \to F^{m}$ )

$null(T)=\{x, Ax=0\}$ así que

$dim(null(T))=n-$ rango 's espacio de filas de A

con atención a :

$Rank(T)+null(T)=n$

tendremos :

$rank column space of A+n -rank row space of A=n$

por lo que : rango del espacio de columnas de A= rango del espacio de filas de A