Cualquier $n$ -tupla de elementos de $G$ pertenece como máximo a $n$ colecciones $G_j$

Question

Estoy leyendo una prueba y me pierdo en una frase. El enunciado a probar:

Dejemos que $X$ un espacio topológico y $G_0$ una colección de subconjuntos de $X$ con la propiedad de intersección finita. Entonces existe una colección máxima $G$ de subconjuntos de $X$ con la propiedad de intersección finita que contiene $G_0$ .

Ahora la prueba empieza así:

La familia de todas las colecciones de conjuntos con la propiedad de intersección finita y que contiene $G_0$ está parcialmente ordenada por inclusión, de modo que por el principio de Hausdorff existe una subfamilia linealmente ordenada máxima $F$ . Afirmamos que $G$ es la unión de todas las colecciones de $F$ .

Cualquier $n$ -tupla $\{E_1 ,...,E_n \}$ de elementos de $G$ pertenece como máximo a $n$ colecciones $G_j$ . Desde $\{G_j\}$ está ordenada linealmente hay una colección $G_n$ que contiene los otros.

...y así sucesivamente.

Pero no puedo seguir la frase enfatizada, de hecho tengo muchos contraejemplos: por ejemplo que la colección $G_0:=\{(0,1),\,(0,2),\, (0,3)\}$ de subconjuntos de $\Bbb R $ . Entonces $G_0$ tienen la propiedad de intersección finita y una cadena de colecciones que contiene $G_0$ puede definirse recursivamente mediante $G_n:=G_{n-1}\cup (0,3+n)$ . Ahora dejemos que $G:=\bigcup_{n\geqslant 0}G_n$ y, por lo tanto, el $3$ -definida por $G_0$ pertenece a cada $G_n$ para todos $n\in \Bbb N $ no sólo a un máximo de tres colecciones de la cadena.

¿Quizás estoy malinterpretando la frase enfatizada, debido a la falta de conocimiento del idioma inglés? O tal vez es sólo un error tipográfico y debe decir "al menos" en lugar de "como máximo", lo que parece tener más sentido en una cadena ordenada linealmente. Se agradecerá alguna ayuda, gracias.

EDIT: puedes leer el texto original de la prueba ici .

Answer 1

Coincido con el comentario de @freakish. El autor quiere decir que si tenemos una cadena máxima $\mathcal{F}$ en el poset con unión $\mathcal{G}$ y cualquier conjunto $\{E_1,E_2,\ldots, E_n\}$ (no es una tupla) que es un subconjunto de $\mathcal{G}$ podemos encontrar (como máximo) $n$ familias $\mathcal{G_j}\in \mathcal{F}, j \le n$ tal que $E_i \in \mathcal{G}_i$ para todos $i$ por la definición de unión, y como el conjunto de familias $\mathcal{F}$ está ordenada linealmente por inclusión, una de ellas $\mathcal{G}_{j_0}$ digamos, es el más grande y así todos $E_i$ se encuentra en esa familia (que tiene el FIP en virtud de estar en el poset en absoluto) y así $\bigcap_{i=1}^n E_i$ no está vacío, etc.

Es un caso especial del argumento de que para una propiedad de carácter finito siempre podemos tiene una familia máxima con esa propiedad, un caso especial de Zorn (también utilizado en la demostración de una base en un espacio vectorial, y en una demostración del lema de la subbase de Alexander, etc.). Esto se conoce como el Lema de Teichmüller-Tukey .