Es el conjunto de poder de $\Bbb R$ una topología de $\Bbb R$ ?

Question

Tal vez sea una cuestión muy fácil de topología pero no lo tengo todo claro.

La cuestión es: todo el conjunto de energía de $\Bbb R$ es una topología de $\Bbb R$ ¿o no?

Los axiomas para definir una topología $\tau$ en un conjunto X son:

1. $\emptyset,\ X \in \tau$
2. Toda intersección finita de elementos de $\tau$ pertenece a $\tau$ también
3. Toda unión de elementos de $\tau$ pertenece a $\tau$ también

Si $\mathscr P(\Bbb R)=\tau \ $ No puedo ver una forma en la que los axiomas no se mantengan, pero esto significa que todos los subconjuntos de $\Bbb R$ están abiertos y cerrados.

¿Es correcto mi razonamiento o este es erróneo? Gracias de antemano.

Answer 1

Es la mayor topología en $\mathbb R$ : todo conjunto es abierto (y, por tanto, todo conjunto es cerrado). En esta topología, cualquier función $f:\mathbb R\to T$ para cualquier espacio topológico $T$ es continua.

El otro extremo es la topología $\{\mathbb R,\emptyset\}$ en el que ningún conjunto no trivial es abierto, por lo que las únicas funciones continuas son las constantes.