Evaluación de $ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log\log n}} $

Question

Estoy tratando de evaluar el siguiente límite que contiene términos de doble logaritmo:

$$ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log\log n}} $$

Parece que si $C > 1$ , entonces el límite tiende a cero. Por otro lado, si $C \leq 1$ , entonces el límite tiende a infinito.

He intentado escribirlo como la proporción

$$ \frac{n}{\left( \frac{\log n}{\log \log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log \log n}}} $$

para aplicar la regla de L'Hopital. Parece que la relación de las derivadas sí tiende a los límites correctos, pero la forma de la derivada del denominador tampoco está muy clara (por ejemplo, usando Wolfram). Tampoco me resulta muy evidente por qué hay un "punto de transición" en $C = 1$ o bien.

¿Alguien sabe de una manera fácil de evaluar estos límites?

Answer 1

Sugerencia (para evitar el Hopital y sus derivados).

Recordemos que $a^b=\exp(b\log(a))$ para $a>0$ y, por lo tanto, como $n\to+\infty$ , $$\begin{align} n\left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log\log n}}&= n\exp\left( \frac{C \log n}{\log\log n}\left(\log\log\log n-\log\log n\right) \right)=n^{1-C+\frac{\log\log\log n}{\log\log n}}. \end{align}$$ Desde $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{\log\log\log n}{\log\log n}=0$ Ahora debería ser evidente el "punto de transición" en $C=1$ .

Answer 2

Así... $$ L=\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log\log n}} $$ Entonces...

$$ \log L = \log\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log\log n}} = \lim_{n \to \infty} \log \Bigg(n \left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)^{\frac{C \log n}{\log\log n}}\Bigg) $$ Así que... $$ \log L = \lim_{n \to \infty} \bigg( \log n + \frac{C \log n}{\log\log n}\log\left( \frac{\log\log n}{\log n} \right)\bigg) $$ Entonces sustituye $\log n$ como $x$ $$ \log L = \lim_{x \to \infty} \bigg( x + \frac{Cx}{\log x}\log\left( \frac{\log x}{x} \right)\bigg) = \lim_{x \to \infty} x\bigg(1-C + \frac{C\log\log x}{\log x}\bigg) $$ Y sabemos que $\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}t=0$ . Entonces, eso se convierte en... $$ \log L \sim x(1-C)=(1-C)\log n \\ L \sim n^{1-C} $$