¿Qué técnicas existen para el "ajuste quirúrgico" de los modelos de la teoría de conjuntos?

Question

Supongamos que tengo un modelo $M$ de la teoría de conjuntos (ZFC, o lo que sea). Digamos que quiero tomar un conjunto $a$ de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, digamos que $a$ es uno de los números reales indefinibles. Intuitivamente, $a$ no es "necesario" para $M$ para ser un modelo de la teoría de conjuntos; hay modelos de la teoría de conjuntos sin números reales indefinibles. Así que deberíamos poder eliminarlo.

El enfoque ingenuo es tomar $M - a$ con la relación de pertenencia inducida, e intentar verificar que sigue siendo un modelo de la teoría de conjuntos. Pero no lo es; por ejemplo, $M$ debe contener un singleton $\{a\}$ y en $M - a$ el singleton $\{a\}$ es ahora vacía; así que tenemos al menos dos conjuntos vacíos, violando la extensionalidad. Probablemente esto no es ni siquiera el principio de nuestros problemas.

Nos encontramos con problemas similares si intentamos añadir un único conjunto nuevo al modelo (por ejemplo, un nuevo subconjunto de los reales). Para añadir un solo conjunto nuevo $b$ necesitamos añadir un singleton $\{b\}$ necesitamos sumar todos los conjuntos finitos que contengan $b$ necesitamos modificar los conjuntos producidos por el axioma de separación para incluir $b$ en su caso, etc.

Así que, en general, hacer este tipo de cirugía fina en un modelo de teoría de conjuntos es un problema difícil, incluso cuando intuitivamente debería ser posible. Me pregunto qué técnicas existen para ello. Entiendo que el forzamiento es, en términos generales, un método para añadir más conjuntos. El teorema de la omisión de tipos es una forma de "eliminar" conjuntos.

Por desgracia, creo que ninguno de los métodos que conozco se aplica al problema en el que estoy trabajando. En particular, no creo que forzar se aplique porque mi problema es eliminar conjuntos, no añadirlos; y no creo que omitir tipos se aplique porque cumplir sus hipótesis parece equivaler esencialmente a haber resuelto ya el problema que estoy tratando de resolver. Así que estoy buscando otros métodos.

Pregunta: ¿Qué otras técnicas existen para añadir y eliminar conjuntos de forma precisa en un modelo de teoría de conjuntos?

Gracias.

Answer 1

Que yo sepa, no existe ninguna herramienta "de grano fino", pero, no obstante, hay varias formas de eliminar conjuntos. Hay algunos puntos menores en esto, que discutiré al final del post.

Dejemos que $M$ sea un modelo de $\mathsf{ZF}$ decimos que $N\subseteq M$ es un modelo interno de $M$ si $N$ es transitiva (con respecto a $M$ ), contiene todos los ordinales (de $M$ ) y satisface los axiomas de $\mathsf{ZF}$ . Por ejemplo, el modelo interno canónico es $L$ , el universo construible de Godel, que es el modelo interno más pequeño. Está contenido en cualquier modelo de $\mathsf{ZF}$ y si dos modelos tienen los mismos ordinales tienen el mismo $L$ .

Hay otros modelos interiores, $HOD$ por ejemplo, la clase de las que son definibles hereditariamente ordinales, es un modelo interno (que puede ser o no igual a $L$ ). En algunos casos hay modelos internos definidos a partir de grandes cardinales por incrustaciones elementales; y en otros casos podemos haber obtenido el universo por una extensión genérica que significa que es algún modelo interno que fue el modelo base en el proceso de forzamiento.

Una vez que nos encontramos dentro de un universo fijo de la teoría de conjuntos, el tratamiento de los modelos internos puede resultar algo más sencillo. Si $N$ es un modelo interno y $x\in M$ entonces $N(x)$ es la intersección de todos los modelos internos que contienen tanto $N$ y $x$ esta clase no está vacía porque $M$ es un modelo interno de sí mismo que contiene ambos. También se puede hablar de $N[x]$ que es el modelo interno de todas las cosas construibles a partir de $N$ y $x$ Y a menudo ambas nociones coinciden, pero dejemos eso para otra ocasión.

¿Cómo nos ayuda eso? Bueno, si $a$ es un "bastante complicado", es decir $a\in M\setminus L$ entonces $L$ es un modelo interno en el que $a$ no está presente. Podríamos intentar ampliarlo añadiendo otros conjuntos, en caso de que sea posible.

Por ejemplo, si nuestro universo fuera una extensión genérica de $L$ añadiendo dos reales, entonces podemos añadir sólo uno y obtener un modelo intermedio que sea mayor que $L$ pero más pequeño que el universo completo.

Del mismo modo, no tenemos que limitarnos a $L$ . Si podemos demostrar que $a$ no está presente en algún modelo interno podemos hacer el mismo truco. Empezar con algún $N$ y añadir poco a poco conjuntos, si queremos, y parar antes de añadir $a$ de nuevo.

Dos advertencias:

1. En realidad no tenemos una herramienta quirúrgica para eliminar "sólo este elemento", porque eliminar un conjunto implica que tenemos que eliminar todos los conjuntos que lo incluyen, y todos los conjuntos que no son definibles sin él. El hecho de que haya un modelo interno más pequeño te dice que a veces no puedes eliminar conjuntos. Si tu universo satisface $V=L$ entonces no hay manera de eliminar quirúrgicamente los conjuntos.

2. La definibilidad es un concepto quisquilloso aquí, cuando se dice "real indefinible" la mayoría de la gente piensa en algún número trascendental que no se puede definir realmente, pero esos existen incluso en modelos como $L$ . Por tanto, aunque algo no sea definible en el sentido "habitual" de la palabra, puede ser necesario.

Terminaré señalando que recientemente se ha trabajado en lo que se conoce como set geología teórica que explora modelos internos de los que el universo es una extensión genérica. Puede resultar útil, aunque no estoy 100% seguro de cómo.