Si $(B \cap C) \subset A$ entonces $(C\setminus A) \cap (B\setminus A) = \emptyset$

Question

Pregunta:

Demostrar/desmentir: Para todos los conjuntos $A,B,C$ , si $B \cap C \subset A$ entonces $(C \backslash A) \cap (B \backslash A) = \emptyset$

Estoy un poco confundido con la pregunta, o por dónde empezar. Cuando aprendimos a demostrarlas, los ejemplos que se daban solían ser conjuntos iguales (en cuyo caso podíamos demostrar que eran subconjuntos entre sí) o casos en los que no había subconjuntos en absoluto. Desgraciadamente, la solución de mi profesor sólo hace que las cosas sean más confusas, ya que no encuentro ninguna de las propiedades de estos conjuntos que utiliza en su respuesta.

Su respuesta:

1. Supongamos que $B \cap C \subset A$ . Esto implica que
2. $(B \cap C) \cap A^c \subset A \cap A^c = \emptyset$
3. $(B \cap A^c) \cap (C \cap A^c) = \emptyset$
4. $(B \backslash A) \cap (C \backslash A) = \emptyset$

Entiendo que las líneas 3 y 4 son correctas. Lo que no entiendo es el salto de las líneas 1 y 2, y cómo lo consigue.

Answer 1

Esto es muy fácil de ver si se dibuja un diagrama de Venn. Pero yendo de la línea 1 a la línea 2, observe que $B\cap C$ está contenida en $A$ y como $A$ y $A^c$ son disjuntos, también lo son $B\cap C$ y $A^c$ .

Pasando de la línea 2 a la línea 3, observe que si todas las operaciones son intersecciones, el orden no importa. Así que

$$(B\cap C)\cap A^c = B \cap C \cap A^c = B \cap A^c \cap C = B\cap ( A^c \cap A^c) \cap C = (B \cap A^c) \cap (C\cap A^c).$$

Answer 2

Para pasar de la línea 2 a la 3:

2: $(B \cap C) \cap A^c \subset A \cap A^c = \emptyset$
3: $(B \cap A^c) \cap (C \cap A^c) = \emptyset$

Tenga en cuenta que $X\cap Y = X\cap Y\cap Y$ .

Así que $$\begin{align} (B\cap C)\cap A^c & = (B\cap \color{darkblue}{C})\cap \color{darkblue}{A^c} \cap \color{darkred}{A^c}\\ & = B\cap\color{darkblue}{(C\cap A^c)}\cap \color{darkred}{A^c}\\ & = B\cap \color{darkred}{A^c}\cap\color{darkblue}{(C\cap A^c)} \\ & = (B\cap \color{darkred}{A^c}) \cap \color{darkblue}{(C \cap A^c)} \end{align} $$

donde las últimas líneas siguen por conmutatividad y asociatividad de $\cap$ .

Para pasar de la línea 1 a la 2 hay que saber que si $X\subset Y$ entonces $X\cap Z \subset Y\cap Z$ . ("Todas las madres son mujeres, por lo tanto, todas las madres altas son mujeres altas") Deberías haber visto ya este teorema, bien en clase o como ejercicio, pero si no lo reconoces, deberías intentar demostrarlo.

Answer 3

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\notag \\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \notag \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\notag \end{align}} $ (Esta no es una respuesta directa, sino un enfoque alternativo).

Yo preferiría un enfoque más "lógico", en el que se empezara por el lado más complejo, $\;(C \setminus A) \cap (B \setminus A) = \emptyset\;$ Aplicar las definiciones y, a continuación, simplificar utilizando las leyes de la lógica. El resultado es $$\calc (C \setminus A) \cap (B \setminus A) \;=\; \emptyset \calcop{\equiv}{basic property of $ \N - Vacío; $} \langle \forall x :: \lnot(x \in (C \setminus A) \cap (B \setminus A)) \rangle \calcop{\equiv}{definition of $ \N - El capitán; $, and of $ \N - Setminus; $ twice} \langle \forall x :: \lnot(x \in C \land x \not\in A \;\land\; x \in B \land x \not\in A) \rangle \calcop{\equiv}{logic: simplify} \langle \forall x :: \lnot(x \in C \land x \in B \;\land\; x \not\in A) \rangle \calcop{\equiv}{logic: DeMorgan -- keeping $ \N - B,C\N -; $ together as in our goal} \langle \forall x :: \lnot(x \in C \land x \in B) \;\lor\; x \in A \rangle \calcop{\equiv}{logic: $ \N - No P \N - Q\N -; $ is another way to write $ \N - Flecha derecha Q\; $} \langle \forall x :: x \in C \land x \in B \;\Rightarrow\; x \in A \rangle \calcop{\equiv}{definitions of $ \N - El capitán; $ and $ \N - Subseteq; $} C \cap B \;\subseteq\; A \endcalc$$

Esto demuestra que las dos afirmaciones dadas son incluso equivalentes.