Expectativa de la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de distribución normal estándar

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria de distribución normal con media $0$ y la varianza $1$ . Sea $\Phi$ sea la función de distribución acumulativa de la variable $X$ . El hallazgo de la expectativa de $\Phi(X)$ .

Tengo $$ E(\Phi(X))= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\Phi(x)\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\;\mathrm{d}x, \quad\text{where}\quad \Phi(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\;\mathrm{d}t. $$ Estoy atascado aquí. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Hay un enfoque más fácil.

Tenga en cuenta que $\Phi(x)$ es una función continua creciente que va de $0$ a $1$ . Sea $Y=\Phi(X)$ donc $Y$ está en el intervalo $(0,1)$ . Entonces $$F(y)=\Pr(Y \le y) =\Pr(\Phi(X) \le y) = y$$ así que $f(y)=1$ cuando $y \in (0,1)$ y $E[Y]=\int_0^1 y \,f(y) \, dy =\frac12$ .

Esto funciona para cualquier distribución continua.

Answer 2

La respuesta anterior se denomina transformación integral de probabilidad . Aparte de usar eso, podemos calcular directamente la expectativa con integración por partes. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la pdf es la derivada de la cdf. $$ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\Phi\left(X\right)\right] &= \int_{-\infty}^{\infty} \Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\, dx\\ &= \left.\Phi^{2}\left(x\right)\right|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} \Phi\left(x\right)\phi\left(x\right) \, dx\\ &= 1 - \int_{-\infty}^{\infty} \Phi\left(x\right)\phi\left(x\right) \, dx \qquad \left(=1-\mathbb{E}\left[\Phi\left(X\right)\right] \right)\\ 2\mathbb{E}\left[\Phi\left(X\right)\right] &= 1 \end{align*} $$ Por lo tanto, $$ \mathbb{E}\left[\Phi\left(X\right)\right] = 1/2 $$