Dados tres números enteros $a$ , $b$ y $c$ tal que $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ también es un número entero, demuestre que el producto $abc$ es un cubo. Por cierto: ¡Feliz Navidad! ;)
$\min\{2k,l\}<k+l$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Al dividir por un factor común si lo hay, podemos suponer que ningún número primo divide a todos los $a,b,c$ . Nuestro objetivo es demostrar que el exponente de cualquier primo $p$ en la descomposición primaria de $abc$ es divisible por $3$ .
Supongamos que $p$ divide uno de los números, WLOG deja que $p\mid a$ . Además $p^k$ ser el mayor poder de $p$ dividiendo $a$ .
Nuestra suposición de que la suma de fracciones es entera es sólo decir que $abc\mid a^2c+b^2a+c^2b$ . Vemos $p\mid abc$ y por lo tanto $p\mid a^2c+b^2a+c^2b$ y así $p\mid c^2b$ así $p\mid b$ o $p\mid c$ pero no ambos (como suponíamos). Ahora tenemos dos casos.
1) $p\mid b$ . Sea $p^l$ ser el mayor poder de $p$ dividiendo $b$ . Ahora es fácil ver que el exponente de $p$ en $abc$ es $k+l$ .
Tenemos $p^{k+l}\mid abc$ Así que $p^{k+l}\mid a^2c+b^2a+c^2b$ Por lo tanto $p^{k+l}\mid a^2c+c^2b$ . El mayor poder de $p$ dividiendo $c^2b$ es $p^l$ y el mayor poder de $p$ dividiendo $a^2c$ es $p^{2k}$ . Si estos exponentes fueran diferentes, entonces la mayor potencia de $p$ dividiendo la suma de $c^2b$ y $a^2c$ sería $\min\{2k,l\}<k+l$ lo cual es imposible. Por lo tanto $l=2k$ y $k+l=3k$ como queríamos.
2) $p\mid c$ . Este caso se trata de manera similar - pero ahora $c$ asume el papel de $a$ y $a$ asume el papel de $b$ . Dejaré que usted complete los detalles.
Estos dos casos en conjunción nos dan la conclusión deseada.
