Quizá esta pregunta se superponga a otras similares, ... pero quiero centrarme en una posible causa de confusión en particular. Me he dado cuenta de que los estudiantes suelen confundirse con los conceptos de "infinito" y "no limitado". Así, cuando se les pregunta si el conjunto de matrices invertibles es compacto, responden "no, porque hay un número infinito de matrices con determinante no nulo, por tanto el conjunto es inabarcable". En realidad, esto sucede en italiano, donde las palabras correspondientes ("infinito" e "illimitato") son casi sinónimos en el lenguaje cotidiano. ¿Ocurre lo mismo en inglés, o en otros idiomas? Me pregunto: ¿y si elegimos otro nombre para los dos conceptos? ¿Cometerían este error igualmente? Una forma de comprobarlo sería comparar con lo que ocurre en otros idiomas, donde quizás las palabras elegidas no crean la confusión. ¿Tienes otros ejemplos de esta situación? ¿Puede sugerir diferentes conceptos matemáticos que en un idioma se nombran con sinónimos, pero no en otro? ¿Sabes si este problema se ha estudiado en algún sitio?
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En francés, un "endomorfismo unitario" es un "endomorfismo ortogonal"... y una "proyección ortogonal" es una "proyección ortogonal" (la 'e' es de mujer, se pronuncia igual). No te puedes imaginar lo mal que me siento cuando tengo que decir a mis alumnos que las proyecciones ortogonales no son unitarias...
Propongo la palabra "núcleo" como el término más abusado en matemáticas. El espacio nulo de un operador lineal, una función simétrica definida positiva sobre un conjunto, un pico de densidad de probabilidad suave ¿me falta alguno? Sé que todos ellos están vagamente relacionados, pero la polisemia definitivamente causa mucha confusión a los estudiantes.
En paralelo para la mayoría de la gente es un término preciso y útil, que describe, por ejemplo, las vías del tren, incluso cuando son curvas. Pero cuando aprendemos "el postulado de las paralelas de Euclides", sólo significa "nunca se encuentran aunque se extiendan indefinidamente". Esto causa dificultades a los estudiantes que se inician en las geometrías no euclidianas.
Creo que se tarda en darse cuenta del producto tensorial entre representaciones y del producto tensorial entre módulos, a pesar de la similitud en la superficie que podemos tratar g -representaciones como g -módulos. Por lo general, la confusión aparece cuando un concepto que tiene mucho sentido en un área se redefine o se utiliza de forma más sutil en la otra, lo que puede ser contraintuitivo en algún sentido. Un ejemplo concreto que me viene a la mente es el artículo de Segal sobre las representaciones de los grupos de Lie compactos, en el que muchas definiciones son más bien ad hoc en la literatura moderna, pero que tienen perfecto sentido cuando se lee su artículo con suficiente atención.
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