El punto de partida es que se sabe que los determinantes de Hankel para la secuencia catalana dan el número de secuencias anidadas de caminos de Dyck. Me gustaría promover esto a las funciones simétricas. Esto está motivado por algo de teoría de la representación.
La idea ingenua es comenzar con la secuencia de funciones simétricas $s_{n,n}$ y tomar los determinantes de Hankel utilizando el producto interior (es decir, el producto en el anillo de grupo de $S(2n)$ ) en lugar del producto exterior habitual. Sin embargo, esto no tiene sentido.
Toma el $2 \times 2$ caso. Entonces el determinante ingenuo es $$ \left|\begin{array}{cc} s_{n-1,n-1} & s_{n,n} \\\ s_{n,n} & s_{n+1,n+1}\end{array}\right|$$ El producto interior de los dos términos diagonales está definido, pero el producto interior de los dos términos no diagonales no lo está.
La idea que quiero probar es que esto es $\sum_\lambda s_\lambda$ donde la suma es sobre los conjugados de las particiones $4^a2^{n-2a}$ .
¿Alguna sugerencia sobre cómo solucionarlo? Si esto se arregla entonces me gustaría saber cómo calcular el resultado. La dificultad es que no he visto una implementación del producto interior en los sistemas de álgebra computacional que utilizo, Magma y Sage (que creo que ambos utilizan la misma fuente para las funciones simétricas).
