Esta no es una respuesta completa, sólo una simple observación de que la teoría espectral da una respuesta parcial de los géneros (como ya sabes). Ver aquí o en cualquier introducción al álgebra de Banach/C*-álgebra teoría de detalles de apoyo.
Un personaje de una unital de Banach conmutativa álgebra $A$ es unital álgebra homomorphism $\phi: A \to \mathbb{C}$. El conjunto $\Phi_A$ de todos los caracteres de $A$ tiene una canónica de la topología (la relativa débil-topología de estrella) que hace que sea un compacto Hausdorff espacio que se llama el espectro de $A$. De hecho, la asignación de $A \mapsto \Phi_A$ es un functor contravariante de unital conmutativa álgebras de Banach compacto Hausdorff espacios.
Si $X$ es un compacto Hausdorff espacio (uno de ellos puede conseguir lejos con menos, pero esto es conveniente), a continuación, $C(X)$ es unital conmutativa álgebra de Banach (de hecho una C*-álgebra). Hay una asignación (en realidad, un homeomorphism) $X \to \Phi_{C(X)}$ envío de $x$ a la evaluación a $X$. Este mapa
$$X \to \Phi_{C(X)}$$
es universal en el sentido de que, si $A$ es otro unital conmutativa álgebra de Banach y hay un dado (continua) mapa
$$x \mapsto \phi_x : X \to \Phi_A,$$
entonces no hay una única homomorphism $a \mapsto f_a: A \to C(X)$, lo que hace que el diagrama de
$$\begin{matrix}
X & \to & \Phi_A \\
& \searrow & \uparrow \\
& & \Phi_{C(X)}
\end{de la matriz}$$
conmutativa. Es bastante fácil ver la singularidad. Conmutatividad del diagrama implica que, para cada una de las $a \in A, x \in X$,$f_a(x) = \phi_x(a)$. Es simple comprobar que $a \mapsto f_a$ es un homomorphism.
Supongo que mi pregunta es si se quiere una noción de univerality que se ve algo como esto en general? O si están buscando algo radicalmente diferente.
Añadido: Respondiendo a tu último comentario, sí la característica universal de la asignación de $X \to \Phi_{C(X)}$ determina la $C(X)$ únicamente como un álgebra de Banach. Lo que sigue es sólo el argumento habitual de la singularidad de los objetos universales
- Supongamos que hay dos álgebras de Banach $A_1$ $A_2$ y dado asignaciones \begin{align*} X \to \Phi_{A_1} && X \to \Phi_{A_2} \end{align*} que son universales en el sentido descrito anteriormente. Vamos a mostrar que existen único inversa isomorphisms entre el $A_1$ $A_2$ que hacer la correspondiente triángulos viaje.
- El uso de la universalidad de cada mapa, a su vez, vemos que no son únicos homomorphisms
\begin{align*}
f : A_1 \to A_2 && g : A_2 \to A_1
\end{align*} que hacer diagramas
\begin{align*}
\begin{matrix}
X & \to & \Phi_{A_1} \\
& \searrow & \uparrow \\
& & \Phi_{A_2}
\end{de la matriz} &&
\begin{matrix}
X & \to & \Phi_{A_2} \\
& \searrow & \downarrow \\
& & \Phi_{A_1}
\end{de la matriz}
\end{align*}
conmutativa (aquí la vertical de mapas son inducidos contravariantly de$f_1$$f_2$).
- Por último, se observa que el mapa de identidad $\mathrm{id}_{A_1}$ $f \circ g$ son tanto las asignaciones $A_1 \to A_1$ que hacer el diagrama de
$$ \begin{matrix}
X & \to & \Phi_{A_1} \\
& \searrow & \downarrow \\
& & \Phi_{A_1}
\end{de la matriz} $$
conmutar de modo que $f \circ g = \mathrm{id}_{A_1}$ por la singularidad y, asimismo, que el $g \circ f = \mathrm{id}_{A_2}$. Por lo tanto, $f$ $g$ son inversas isomorphisms entre las álgebras de Banach $A_1$$A_2$.
