Me disculpo de antemano si algo de lo que digo a continuación es incorrecto y agradezco cualquier corrección si algo es incorrecto. Mi conocimiento de la teoría de conjuntos y de la lógica es extremadamente limitado, sin embargo, trato de leer algo sobre esos temas por mi cuenta ya que siento que se suma a la "matemática cotidiana".
En ZFC las nociones de conjunto y de pertenencia a un conjunto no se definen, sino que se describen axiomáticamente mediante los axiomas de ZFC. Por lo tanto, según tengo entendido, los conjuntos son simplemente eso, lo que sea, y mediante los axiomas se pueden derivar afirmaciones sobre esos objetos.
En la teoría ingenua de conjuntos, cualquier colección de objetos (donde los objetos son también una noción primitiva; cualquier cosa es un objeto) se considera un conjunto que representa intuitivamente la noción de colección de objetos abstractos. Sin embargo, sin axiomas precisos, esto conduce a paradojas como la de Russel.
He oído hablar de un punto de vista filosófico, que considera las matemáticas como un juego o una manipulación formal de cuerdas, llamado formalismo. Sin embargo, si uno motiva los axiomas de ZFC de forma un poco más platonista, es decir, formalizando objetos que ocurren en el mundo real, como los números, probablemente seguiría viendo un conjunto como una formalización de una colección de objetos bajo ciertas restricciones, que vienen dadas por los axiomas. En este caso, podría ver un enunciado como $s \in S$ más intuitivamente como " $s$ nombra un objeto que está contenido en la colección llamada $S$ , cualquiera que sea ese objeto".
Pregunta 0) No tengo conocimientos sobre la interpretación/semántica de las oraciones lógicas formales y cómo funciona exactamente. ¿Hay buenas referencias para estudiarlas? No estoy seguro de cuánto tiempo me llevaría, pero me parecería interesante leer sobre ello en mi tiempo libre. Puede que sea incorrecto, pero yo mismo siempre he pensado que los enunciados matemáticos siempre tienen una interpretación determinada, por lo que creo que podría ser un tema interesante sobre el que leer. Creo que en sentido estricto los enunciados son formales al principio sin interpretación, pero pueden ser interpretados, ¿no?
Pregunta 1) ¿Los conjuntos en ZFC también se interpretan como colecciones de objetos o no se utiliza ninguna interpretación? Como probablemente haya una gran variedad de opiniones, debería reformularlo: ¿Es válido interpretar los conjuntos como una colección de objetos y que los objetos sean un miembro del conjunto si y sólo si satisfacen el " $\in$ ", ¿o no es válida?
Pregunta 2) ¿Esta visión es utilizada por (algunos) matemáticos profesionales o esta visión de un conjunto como una colección es mayormente abandonada después de encontrar que la teoría de conjuntos ingenua conduce a contradicciones? Yo mismo no estoy seguro de qué punto de vista se adopta en las clases, por ejemplo, ya que sólo en las clases introductorias se menciona explícitamente que se adopta el punto de vista ingenuo. Sin embargo, me parece mucho más fácil tratar los conceptos viendo los conjuntos como colecciones y los elementos como objetos del conjunto. Por lo tanto, quería preguntar si es válido mantener este punto de vista, o si se abandona en su mayor parte.
Un pensamiento: Podría ver las matemáticas desde un punto de vista formalista, pero a mí me resulta más motivador y realista tener una visión más platónica. ¿No sería aún más sorprendente que las matemáticas puedan utilizarse en el mundo real si se adopta una visión puramente formalista?
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Qu.1) comparar universo von Neumann que es una jerarquía de conjuntos "puros" que satisfacen los axiomas de $\mathsf {ZFC}$ con teorías de conjuntos con Urelementos donde la capa básica se basa en objetos (matemáticos) que no son conjuntos (por ejemplo, números) y sobre ella construimos la jerarquía de conjuntos: conjuntos de números, conjuntos de conjuntos de números, ...
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Y SÍ, describimos (de forma matemáticamente precisa) un estructura es decir, un universo de objetos (matemáticos) y sus propiedades/relaciones y demostramos que el axioma de la teoría correspondiente se satisface (es verdadero) en la estructura. De este modo, decimos que dicha estructura es un modelo de la teoría. Lo mismo ocurre con el plano cartesiano habitual de la geometría analítica conocida: es un modelo del plano euclidiano en el "universo" de los (pares de) números reales.