¿Cómo podemos encontrar $\sum\nolimits_{i = 1}^{13} {{a_i}} = ?$

Question

Dejemos que $\left\{ {{a_i}} \right\}$ sea una secuencia aritmética y $a_3+a_7+a_{11}=24$ .

¿Cómo podemos encontrar $\sum\nolimits_{i = 1}^{13} {{a_i}} = ?$

Answer 1

La media de $\{a_1,...,a_{13}\}$ va a ser $a_7$ ya que los números están repartidos simétricamente. Así que la suma es $13a_7$ .

Mientras tanto, $\{a_3,a_7,a_{11}\}$ también es una secuencia aritmética, así que se aplica lo mismo. Y $a_7$ debe ser $\frac{24}{3}=8$ .

Answer 2

Sugerencia: Reescriba todo en términos de $a_1$ y la diferencia $d = a_i-a_{i-1}$ .

Answer 3

Por supuesto, muy básico y mucho menos bonito que la respuesta de alex.jordan.

Dejemos que $$a_i=A+(i-1)D\implies \sum_{i=1}^{13}a_i=13A+78 D\tag 1$$ Asimismo, $$a_3+a_7+a_{11}=3A+18D=24\implies A=8-6D\tag 2$$ Sustituir en $(1)$ $$\sum_{i=1}^{13}a_i=13A+78 D=13(8-6D)+78D=104$$