Notación para una derivada

Question

Me interesa saber si existe una notación para una derivada que esté entre una derivada total y una derivada parcial.

La derivada total de $f(t,x,y)$ con respecto a $t$ es $$ \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$ mientras que la derivada parcial de $f(t,x,y)$ con respecto a $t$ , sostiene $x$ y $y$ constante, y es $\frac{\partial f}{\partial t}$ .

Estoy interesado en un derivado intermedio que, digamos, sólo mantiene $x$ constante, y es igual a $$ \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+0+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$ ¿Hay alguna notación que pueda utilizar para este tipo de derivada?

Answer 1

Escribo esta respuesta porque creo que demasiados principiantes sobrevaloran el concepto de derivada total. En matemáticas diferenciamos funciones, no "variables". Cuando el OP escribió $$ \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}, $$ utilizó el símbolo $f$ con al menos dos significados diferentes.

En el lado izquierdo $f$ se entiende como una función de una sola variable (real). En el lado derecho, $f$ se considera una función de tres variables (reales). Esta identidad es lo que llamamos una abuso de la notación .

Además, el llamado derivado total es esencialmente un fantasma: es una notación para los perezosos que no quieren ser rigurosos y escribir

dejar $x=x(t)$ , $y=y(t)$ sean dos funciones (diferenciables), y que $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ sea una función diferenciable. Si $g(t)=f(t,x(t),y(t))$ entonces $$g'(t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y'(t).$$

La derivada total no es más que la regla de la cadena para los perezosos, por así decirlo. Si queremos arreglar una variable, por ejemplo $x$ y diferenciar $h(t)=f(t,x,y(t))$ preferimos decirlo claramente para evitar cualquier malentendido.