¿Cómo puedo reescribir $\frac{1}{(1-z)^4}$ como una serie de potencias?

Question

Se supone que debo reescribir $\frac{1}{(1-z)^4}$ como una serie de potencias, utilizando el producto de Cauchy. Se da que $|z| < 1$ .

Hasta ahora he \begin{aligned} \frac{1}{(1-z)^4} &= \left( \frac{1}{(1-z)^2} \right)^2\\ &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n \right)^2\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} (n-k+1)z^{n-k}kz^k \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} k(k+1)z^{n} \\ \end{aligned} En primer lugar, no estoy seguro de que todos los pasos hayan sido correctos hasta ahora. Además, no sé cómo puedo reducir eso a una serie de potencia.

Answer 1

Hasta ahora parece correcto, aunque probablemente debas pasar de la primera línea a la segunda tomando el producto de Cauchy de la serie para $\frac1{1-z}$ con ella misma.

En cuanto a la última parte, $$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} k(k+1)z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n} \sum_{k=0}^{n} k(k+1)$$

y $$k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}3$$

Answer 2

La tercera línea debería ser \begin{eqnarray*} &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} (n-k+1)z^{n-k} \color{red}{(k+1)}z^k \\ \end{eqnarray*} Así que tenemos que realizar la suma \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} (n-k+1)(k+1) = -\sum_{k=0}^{n} k^2+ n \sum_{k=0}^{n} k +(n+1) \sum_{k=0}^{n} 1. \end{eqnarray*} Recordemos que \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*} y tenemos \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} (n-k+1)(k+1) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}. \end{eqnarray*}