Medir las cosas grandes

Question

A menudo, durante las discusiones informales con colegas, surge el siguiente patrón cuando estamos atascados tratando de demostrar un teorema sobre $x \in X$ .

A : " asumamos esta hipótesis $H$ en $x$ "
B : " la mayoría de los elementos de $X$ no satisfacen $H$ ".
A (censurado para proteger a los inocentes).

Por supuesto, esto tiene sentido cuando uno se restringe a un conjunto $X$ equipado con un álgebra y una medida sigma, pero ¿qué ocurre cuando se quieren medir cosas mucho más grandes? He aquí algunos ejemplos de afirmaciones fuera de lugar que parecen razonables:

1. La mayoría de los espacios topológicos no son Hausdorff.
2. La mayoría de las categorías contienen un morfismo de no identidad.

¿Existe algún marco lógico que permita precisar este tipo de afirmaciones informales?

Supongo que una de las afirmaciones más básicas de este tipo sería "La mayoría de los conjuntos son infinitos", por lo que un enfoque sensato implicaría alguna correspondencia de la forma

$$\Omega: \text{[Classes or Large Categories]} \to \text{[Cardinals or Ordinals]}$$

que copia las propiedades básicas de una medida sobre $\mathbb{R}$ . Se ha discutido previamente aquí sobre la ampliación de la gama de $\Omega$ pero (como se puede ver en las declaraciones informales anteriores) mi principal interés es ampliar el dominio más allá de Sets. Siento la pregunta difusa, pero espero que haya otros que compartan mi experiencia y quieran saber.

Answer 1

Dado que cualquier medida sobre un conjunto puede ser transferida isomórficamente a una medida sobre cualquier conjunto de la misma cardinalidad, y además todo conjunto no vacío tiene una medida completa con respecto a algunos medida, su observaciones iniciales tienen una mayor fuerza sólo en un contexto en el que una medida acordada o natural.

Desde esta perspectiva, considero que la pregunta es: ¿qué tipo de medidas naturales tenemos para medir conjuntos extremadamente grandes o incluso clases propias?

Para ello, la teoría de conjuntos tiene mucho que decir. En primer lugar, para cualquier cardinal $\kappa$ con cofinalidad incontable, tenemos la medida que surge del filtro del club, que da la medida uno a cualquier conjunto que contenga un subconjunto cerrado no acotado de $\kappa$ y medir el cero a los que omiten un palo. Este es un $\sigma$ -aditivo (y de hecho $\kappa$ -aditivo para regular $\kappa$ o más generalmente $\text{cof}(\kappa)$ -aditivo) de dos valores. El estacionario conjuntos son precisamente los conjuntos que son positivos con respecto a esta medida, y es interesante observar que estos son también precisamente los conjuntos que podrían convertirse en la medida uno con respecto a la medida del filtro del club en una extensión forzada del universo. Los conceptos de club y estacionario son conceptos extremadamente robustos de amplitud que se utilizan en toda la teoría de conjuntos.

Mientras tanto, en segundo lugar, gran parte de la teoría de los grandes conjuntos cardinales trata de la posibilidad de varios tipos de medidas en conjuntos extremadamente grandes. Por ejemplo, todo cardinal medible tiene lo que se llama un normal medida, un $\kappa$ -medida aditiva de dos valores en $\kappa$ midiendo cada subconjunto de $\kappa$ , con el adicional propiedad de que toda función regresiva es constante en un conjunto de medida un conjunto. Nociones similares de normalidad y finitud de medidas surgen con otros cardinales grandes, como para los cardinales fuertemente compactos cardinales fuertemente compactos y cardinales supercompactos. Por ejemplo, $\kappa$ es fuertemente compacta si y sólo si cada $\kappa$ -aditivo de dos valores sobre un conjunto puede extenderse a una $\kappa$ -aditivo de dos valores medida que mide cada subconjunto del conjunto. Tenemos jerarquías de medidas en el orden de Mitchell y en el de Rudin-Keisler.

En cuanto a las clases propiamente dichas, muchas de estas mismas ideas siguen siendo válidas. Para ejemplo, el concepto de medida del filtro del club sigue teniendo sentido para clases propias (aunque se convierte en una noción de segundo orden o de segundo orden), ya que podemos decir en primer orden que una clase propia dada $C\subset\text{Ord}$ es cerrado y sin límites. La hipótesis Ord es Mahlo es la hipótesis de que la clase de cardinales regulares tiene medida exterior uno con respecto a esa medida natural. Se puede extender de forma similar la noción a los conceptos de ``Ord es hipermahlo'' y así sucesivamente. Todas Estas nociones proporcionan conceptos naturales de amplitud para las clases propias. clases propias.

Answer 2

Se puede construir un marco para analizar estas cuestiones, pero no sin renunciar a a algo.

Casi todas las álgebras finitas (de tipo de similitud finita, sobre un conjunto etiquetado, y otras tecnicismos que se aplican) generan variedades de base finita en el álgebra universal. Esto se justifica observando las tablas de multiplicación sobre un conjunto subyacente de n elementos, eligiendo un subconjunto de ellos que satisfaga una determinada propiedad, calculando un cociente R(n), y mostrando que este cociente llega a 1 a medida que n crece. Obsérvese que ya no se trata de ya no se trata de "todas" las álgebras finitas, sino de representantes de las mismas, y el cociente R(n) puede tener un límite que puede no tener relación con una cantidad análoga definida para álgebras contablemente infinitas: R() podría no extenderse continuamente a todos los cardinales o incluso a suficientes ordinales.

Se puede intentar un marco similar para cardinalidades arbitrarias, utilizando el nociones de medida como se sugiere en el post de Joel Hamkins. Permítanme sugerir una idea alternativa que puede tener sentido. Consideremos una colección de estructuras del tamaño de un conjunto así como la teoría asociada que describe una clase que contiene ese conjunto. Idealmente, la colección se puede incrustar en un modelo grande de la misma teoría, y uno puede ahora preguntar si existen modelos en los que el conjunto esté incrustado y la relación R de algún subconjunto es tan grande o tan pequeña como sea posible, en relación con una medida en el modelo grande y utilizando ciertas consideraciones de minimalidad para evitar consecuencias triviales y consecuencias triviales y poco interesantes.

Si todavía está interesado en ver "todas" las estructuras, seguirá necesitando un contenedor para mantenerlas. No conozco los funtores desde la "categoría de potencia" de una categoría a los reales, pero si tuviera que intentar medir dentro de una categoría, ahí es donde empezaría.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2012.11.22