refutando el límite de la función entera más pequeña

Question

Demostrar que el límite de esta función no existe :

$\lim_{x \to 1} \lfloor x \rfloor$

Sé que el valor de $\lfloor x \rfloor$ cuando $ x \to 1^-$ es $0$ ,

el valor si $\lfloor x \rfloor$ cuando $ x \to 1^+$ es $1$ .

¿Cuál es el enfoque para demostrar que un límite no existen utilizando la definición del límite?

Empecé asumiendo que el límite para $\lfloor x \rfloor$ existe, $$ |\lfloor x \rfloor - L| < \epsilon $$ $$ L - \epsilon <\lfloor x \rfloor < L+ \epsilon $$

Elegí $\epsilon = 0.5$

$$ L - 0.5<\lfloor x \rfloor < L+ 0.5 $$

pero no sabía cómo hacer una contradicción para demostrarlo

¿Alguna ayuda?

¡Gracias!

Answer 1

Dejemos que nuestra función sea $f(x)$ . Supongamos que el límite como $x\to 1$ de $f(x)$ existe, y es igual a $b$ . Entonces, para cada $\epsilon\gt 0$ Hay un $\delta$ de manera que si $0\lt |x-1|\lt \delta$ entonces $|f(x)-b|\lt \epsilon$ . Utilizaremos esto para obtener una contradicción.

Dejemos que $\epsilon=1/10$ y supongamos que $|f(x)-b|\lt \epsilon$ siempre que $0\lt |x-1|\lt \delta$ .

Hay $x$ tal que $0\lt |x-1|\lt \delta$ y $f(x)=1$ . (Sólo deja que $x=1+\delta/2$ .) Así que $|1-b|\lt 1/10$

Del mismo modo, hay $x$ tal que $0\lt |x-1|\lt \delta$ y $f(x)=0$ . (Sólo tienes que elegir $x=1-\delta/2$ .) Así que $|0-b|\lt 1/10$ .

Pero hemos llegado a una contradicción, ya que no hay $b$ que está simultáneamente dentro de $1/10$ de $1$ y dentro de $1/10$ de $0$ .

Si lo prefiere, puede demostrar que $b$ no puede ser ni $\le 0.5$ ni $\gt 0.5$ . Por ejemplo, no es $\le 0.5$ porque si lo fuera tendríamos $|1-b|\ge 0.5$ lo que contradice el hecho de que $||-b|\lt 1/10$ .

Answer 2

Si con la "definición del límite" te refieres a la definición épsilon-delta, es bastante sencillo.

Elija $\varepsilon$ así que $0<\varepsilon<1$ Entonces, para cualquier $\delta>0$ , $\lfloor1-\frac{\delta}{4}\rfloor=0$ y $\lfloor1+\frac{\delta}{4}\rfloor=1$ y $|1-0|>\varepsilon$ .

Por lo tanto, el límite no existe.