La fuerza electromagnética sobre una carga $ e $ es
$$ \vec F = e(\vec E + \vec v\times \vec B),$$
la fuerza de Lorentz. Pero, ¿se trata de una suposición independiente añadida a las ecuaciones completas de Maxwell? (¿resultado de alguna evidencia empírica?) ¿O está en algún lugar oculto en las ecuaciones de Maxwell?
Las ecuaciones de Maxwell no contienen ninguna información sobre el efecto de los campos sobre las cargas. Se puede imaginar un universo alternativo en el que los campos eléctricos y magnéticos no crean fuerzas sobre ninguna carga, pero las ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas. ( $ \vec{E} $ y $ \vec{B} $ serían inobservables y totalmente inútiles de calcular en este universo, pero aún así podrías calcularlas) Así que no se puede derivar la ley de la fuerza de Lorentz sólo a partir de las ecuaciones de Maxwell. Es una ley independiente.
Sin embargo...
Algunas personas cuentan con una versión amplia de la "ley de Faraday" como parte de las "ecuaciones de Maxwell". La versión amplia de la ley de Faraday es "EMF = derivada del flujo" (a diferencia de la versión estrecha $ \nabla\times\vec E = -\partial_t \vec B $ ). El CEM se define como la ganancia de energía de las cargas que viajan a través de un circuito, por lo que esta ley da información sobre las fuerzas sobre las cargas, y creo que se puede derivar la fuerza de Lorentz a partir de aquí. (Por comparación, $ \nabla\times\vec E = -\partial_t \vec B $ habla de campos eléctricos y magnéticos, pero no dice explícitamente cómo o si esos campos afectan a las cargas).
Algunos consideran que la ley de la fuerza de Lorentz es esencialmente la definición de los campos eléctrico y magnético, en cuyo caso forma parte de la base sobre la que se construyen las ecuaciones de Maxwell.
Si se asume la parte de la fuerza eléctrica de la ley de fuerza de Lorentz ( $ \vec F = q \vec E $ ), Y se asume la relatividad especial, se puede derivar la parte de la fuerza magnética ( $ \vec F = q \vec v \times \vec B $ ) de las ecuaciones de Maxwell, porque una fuerza eléctrica en un marco es magnética en otros marcos. Lo contrario también es cierto: si asumes la fórmula de la fuerza magnética y asumes la relatividad especial, entonces puedes derivar la fórmula de la fuerza eléctrica.
Si asumes las fórmulas para la energía y/o el momento de los campos electromagnéticos, entonces la conservación de la energía y/o el momento implica que los campos tienen que generar fuerzas sobre las cargas, y presumiblemente puedes derivar la ley exacta de la fuerza de Lorentz.
¿Así que Faraday se hacía el tonto y Maxwell especulaba sin tener ni idea de cómo afectan los campos eléctricos y magnéticos a las cargas? No, Faraday y Maxwell trataban con cargas (densidades) y corrientes (densidades de corriente) macroscópicas, no con una carga puntual como hacía H. Lorentz, esa es la diferencia.
La expresión de la fuerza de Lorentz en términos de campos electromagnéticos puede derivarse de la 4ª divergencia del tensor de tensión-energía del campo EM. Pero esto es sólo la mitad del trabajo. Entonces se puede derivar la fuerza de Lorentz en términos de densidades de flujo/carga si se asume que la acción del campo magnético sobre el vector 4 de flujo es una rotación alrededor de la dirección del campo magnético, con un ángulo proporcional a la magnitud del campo. Del mismo modo, la acción del campo eléctrico sobre el flujo es el impulso de Lorentz en la dirección del campo eléctrico, proporcional a la magnitud del campo eléctrico.
@Vladimir Kalitvianski, como sospechas, asumo que el autor de la pregunta se refiere a "las ecuaciones de Maxwell en su forma moderna", es decir, las cuatro ecuaciones tal y como las reformuló Heaviside, en la forma que aparece en los libros de texto actualmente bajo la etiqueta "ecuaciones de Maxwell". No estoy hablando de lo que Maxwell y Faraday pensaron o escribieron originalmente. Si no recuerdo mal, tienes toda la razón: Maxwell y Faraday no tenían mucha o ninguna separación lógica entre campos, fuerzas y cargas.
No he visto que esto se mencione en las respuestas, así que pensé que al menos debía mencionarlo. Si se toma la perspectiva de que las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen un $U(1)$ campo gauge, entonces el acoplamiento mínimo (que es, en cierto sentido, la única forma invariante gauge de acoplar la materia a un campo gauge) asegura que cualquier partícula cargada obedece la ley de fuerza de Lorentz, siendo la única libertad el valor $e$ de su carga. Así pues, aunque las propias ecuaciones de Maxwell, sin algunas suposiciones adicionales, no implican necesariamente la ley de fuerza de Lorentz, $U(1)$ invariancia gauge hace implican la ley de fuerza de Lorentz. De hecho, si se toma $U(1)$ invariancia gauge como punto de partida fundamental, entonces implica ambos Las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. Una vez más, se trata de una cuestión de perspectiva, por lo que no estoy en desacuerdo con las otras respuestas, pero creo que este es el punto de vista moderno.
Con un mayor éxito se puede partir de la fuerza de Lorentz directamente, ¿por qué invocar U(1)? U(1) no puede ser un punto de partida fundamental porque implica ya las ecuaciones mecánicas y de onda en su lugar con su significado físico estricto. La invariancia gauge es como la invariancia con respecto al desplazamiento de la constante de energía potencial $V_0$ ; las ecuaciones mecánicas con fuerzas no incluyen en absoluto el valor absoluto de la energía potencial, no hay nada que hablar. $V_0$ -la invariabilidad no puede ser un punto de partida fundamental para derivar la física porque se desprende de la física, y no al revés.
El acoplamiento mínimo no es la única forma de acoplar la materia al campo electromagnético. Consideremos, por ejemplo, el acoplamiento de Pauli.
Sí, la ley de fuerza de Lorentz puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell (hasta una constante multiplicativa), con sólo algunas suposiciones sobre lo que significa hablar de una teoría de campos.
Si partimos de las ecuaciones de Maxwell en el vacío, observamos que son invariantes de Lorentz. Por lo tanto, esperamos que cualquier ley de fuerza tenga que ser invariante de Lorentz. Si quieres, puedes añadir esto como una suposición explícita.
Aplicando el teorema de Noether para la simetría de traslación temporal, obtenemos una ley de conservación de la energía para una energía cuya densidad es $u=(1/8\pi)(\textbf{E}^2+\textbf{B}^2)$ . El factor de $1/8\pi$ es arbitraria y no está especificada por el teorema de Noether. También hay no unicidad en el sentido de que se pueden añadir ciertos tipos de términos a esta expresión que implican cosas como segundas derivadas de los campos, pero no creo que esos términos tengan ningún efecto en el siguiente argumento, porque el argumento dependerá sólo de la integral de $u$ no en su densidad local, y los términos añadidos sólo dan términos superficiales en la integral, y éstos desaparecen. Esta ambigüedad se discute en las conferencias de Feynman, sección II-27-4.
Ahora añade los términos de la fuente a las ecuaciones de Maxwell. Consideremos dos láminas de carga $\pm Q$ en forma de condensador de placas paralelas con una separación lo suficientemente pequeña como para que el campo interior sea casi uniforme. La energía $U=\int u dV$ es finito y calculable a partir de la geometría. Si acercamos una hoja a la otra en $dx$ la energía en el campo eléctrico cambia por $dU$ . La fuerza total entre las hojas es $F_{total}=dU/dx$ que también podemos calcular.
Ahora bien, cuando hablamos de una teoría de campos, suponemos que es local en algún sentido. Por esta razón, la fuerza que actúa sobre un pequeño trozo de carga $q$ en nuestro condensador sólo puede depender del campo en ese punto, no del campo en otro lugar. Pero el campo no tiene variación transversal, por lo que dado $\textbf{F}_{total}$ podemos deducir la contribución $\textbf{F}$ de la fuerza que actúa sobre $q$ . El campo es en realidad discontinuo en nuestro ejemplo, pero se puede tratar ese tema, lo que produce un factor de 2. El resultado de este ejemplo es $\textbf{F}=q\textbf{E}$ y el único margen de maniobra posible es que podríamos haber elegido una constante de proporcionalidad diferente en nuestra definición de $u$ . En otras palabras, podríamos haber cambiado el factor de conversión entre las energías electromagnéticas y las energías mecánicas, pero aquí no teníamos otra libertad. Podríamos haber elegido este factor de conversión de forma que $\textbf{F}$ se desvanecerían de forma idéntica, pero entonces los campos electromagnéticos serían indetectables con dispositivos materiales, por lo que esta posibilidad no es muy interesante.
Una vez establecida la parte eléctrica de la ley de fuerza de Lorentz, la ley de fuerza de Lorentz completa se deduce de la invariancia de Lorentz.
-1 porque has sustituido la necesidad de la fuerza de Lorentz por la necesidad de una definición de energía en términos de $E$ independientemente de las ecuaciones de Maxwell.
@LarryHarson: No, la definición de $E$ se desprende del teorema de Noether, como se indica en la respuesta.
@LarryHarson Probablemente tú y yo no estemos de acuerdo en cuándo hay que hacer un downvote, pero ésta es mi perspectiva, así que por favor considérala (no tienes que estar de acuerdo): Incluso si tuvieras razón y la definición de E no viniera del teorema de Noether como dice Ben (estoy con Ben en esto) esto no es razón para downvote. El cambio de perspectiva que ofrece un "reemplazo" no es trivial y me ayuda a entender temas sutiles. Ciertamente quiero ver tantos "cambios de perspectiva triviales" como pueda: Sólo soy una persona y aprendo enormemente de la perspectiva de otras personas. Si no fuera así, la física sería terriblemente pobre.
Steve B da una respuesta muy, muy buena, pero tengo una cosa que añadir a su tercer punto. Dice que si se asume la parte eléctrica de la fuerza, se puede derivar la parte magnética de la relatividad. Yo tengo una derivación diferente para la parte magnética que no utiliza exactamente la relatividad de forma obvia. Tomo una onda e-m que se propaga libremente y que viaja entre dos placas metálicas. A partir de las ecuaciones de Maxwell podemos obtener las cargas inducidas en las placas, y también las corrientes inducidas. Si conocemos la fuerza electrostática debida a las cargas, entonces las dos placas deben atraerse mutuamente. Resulta que la fuerza magnética es exactamente igual y opuesta a la fuerza eléctrica, por lo que no hay fuerza neta entre las placas. Es un buen cálculo, y me gustaría decir que me permite deducir la fuerza magnética, pero nunca he sido capaz de pensar en una razón física por la que tenga derecho a asumir que la fuerza total entre las placas debe ser cero.
Hablo de este problema en mi blog de física .
He eliminado mi propia respuesta (que, sin embargo, todavía se puede encontrar en el registro de revisión), porque tiene una implicación contrafactual.
Consideremos un campo de velocidad ${\bf u}({\bf x},t)$ , donde ${\bf x}$ es el vector de posición y $t$ es el tiempo. Digamos que ${\bf u}$ preserva el flujo magnético si y sólo si el flujo magnético a través de cada curva cerrada, cada parte de la cual se mueve con velocidad ${\bf u}$ es constante, como si el flujo se moviera a esa velocidad. Entonces (como dije) la ley de Faraday para una espira fija ${\cal C}$ se reduce a \begin{equation}\label{2}\tag{2} \oint_{\cal C}{\bf E}\cdot d{\bf x} = -\oint_{\cal C}{\bf u}\times{\bf B}\cdot d{\bf x} \,. \end{equation} Hasta aquí: todo bien. Pero entonces afirmé que en la medida en que el ${\bf E}$ era debido al flujo en movimiento, podríamos localizar la influencia e interpretar la igualdad anterior como elemento por elemento, obteniendo \begin{equation}\label{4}\tag{4} {\bf E} = -{\bf u}\times{\bf B} \end{equation} como la ley de Faraday para un campo de velocidad ${\bf u}$ que preservó el flujo magnético. De forma similar, para la ley de Maxwell-Ampère (sin corriente de conducción) para una velocidad ${\bf u}$ que preservó la electricidad desplazamiento flujo, reclamé \begin{equation}\label{6}\tag{6} {\bf H} = {\bf u}\times{\bf D} \,. \end{equation} Juntos, (4) y (6) implicarían que si la velocidad ${\bf u}$ es preservador del flujo (en ambos sentidos), entonces tanto ${\bf E}$ y ${\bf H}$ son perpendiculares a ${\bf u}$ . Esto, a su vez, implicaría que una onda que viaja a una velocidad que preserva el flujo en un medio isotrópico es TEM.
Esa implicación es equivocado . Los contraejemplos incluyen:
Los modos TE y TM de una guía de onda rectangular sin pérdidas; y
la onda evanescente debida a la reflexión interna total de una onda sinusoidal plana por una interfaz plana, y la superposición de las ondas incidente y reflejada; tanto la onda evanescente como la superposición son TE para el s polarización y TM para el p polarización, pero no ambas a la vez.
En ambos casos, una forma de onda viaja a una velocidad fija obvia (la de la onda evanescente en el último caso), sin ningún otro cambio, por lo que la velocidad es preservadora del flujo.
Así que la existencia de una velocidad que preserva el flujo no nos da licencia para interpretar las formas integrales de las leyes de Faraday y Maxwell-Ampere de manera localizada.
Filosóficamente, el problema parece ser este: Dado que la velocidad que preserva el flujo no existe salvo en casos especiales, el flujo por sí mismo no es una especie de "cosa" que se mueve, y no se convierte en tal en los casos en que, por accidente una velocidad que preserva el flujo resulta que existe. E incluso si aceptamos la premisa de que toda influencia instantánea es local, ¡no podemos construir un argumento físico válido localizando la influencia de "cosas que se mueven" si no tenemos físicamente "cosas que se mueven"!
Me apresuro a añadir que las ecuaciones (4) y (6) siguen siendo correctas si tomamos ${\bf u}$ como el rayo velocidad, cuya determinación fue la razón original de mi interés en este asunto.
Así que, en términos de mi propósito original, el problema es este: La preservación del flujo no hace la velocidad del rayo.
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Véase la respuesta de David Z a esta pregunta de Phys.SE physics.stackexchange.com/q/15443/2451
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Para quien imagine que hay mucha libertad a la hora de elegir la forma de la ley de fuerza, un buen ejercicio es intentar escribir una ley alternativa que satisfaga la invariancia de Lorentz, es decir, que sea un cuatro vector válido. (Estoy ignorando los factores constantes.) La fuerza estándar de Lorentz puede expresarse como $F^{ab}v_b$ , donde $F$ es el tensor e.m. $F^c_cF^{ab}v_b$ ? Desaparece. $F^{ab}v_bv^cv_c$ ? Se reduce a la ley estándar. Las derivadas no están permitidas, porque entonces no tendremos soluciones a los problemas de valor inicial.
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Usted asumió sólo unas pocas posibilidades más simples. También existe la propuesta de Landau-Lifshitz para la expresión de las cuatro fuerzas sobre una partícula cargada, $f^\mu = qF^{\mu\nu} u_\nu + C\frac{d}{d\tau}(qF^{\mu\nu} u_\nu)$ . Muy feo, en gran medida innecesario y no confirmado experimentalmente, pero sin embargo sigue siendo relativista y covariante de Lorentz.