En $\triangle ABC, AB = 28, BC = 21$ y $CA = 14$ . Puntos $D$ y $E$ están en $AB$ con $AD = 7$ y $\angle ACD = \angle BCE$

Question

En $\triangle ABC, AB = 28, BC = 21$ y $CA = 14$ . Puntos $D$ y $E$ están en $AB$ con $AD = 7$ y $\angle ACD = \angle BCE$ . Encuentre $BE$ .

Lo que he probado : Aquí hay una foto :-

Conozco las longitudes de los lados del triángulo, así que también puedo averiguar sus altitudes utilizando la Fórmula de Heron, pero eso no me ha dado ninguna información útil. El hecho es que no puedo utilizar las longitudes laterales de ninguna manera, ni los triángulos, porque no hay triángulos similares aquí. La búsqueda de ángulos no creo que sirva de nada. No he probado la trigonometría porque soy un poco débil en ella.

¿Alguien puede darme alguna idea para este problema? Gracias.

Answer 1

Tenemos $\triangle DAC \sim \triangle CAB$ por SAS ( $\angle A$ común)

$$\therefore \angle B = \angle ACD = \angle BCE$$

Así que $\triangle BEC$ es isósceles con $BE=CE$ . Drop $EF \perp BC$ .

$\triangle BEF \cong \triangle CEF$

$BF = 21/2$

Por la regla del coseno en $\triangle ABC$ ,

$$ \cos B = \dfrac{28^2 + 21^2 - 14^2 }{2\cdot 28 \cdot 21} = \dfrac{7}{8} $$

Bastante fácil,

en el derecho $\triangle BEF$ , $$ BE \cos B = BF $$ $$ \Rightarrow \boxed{BE = 12}$$