Trabajo realizado al sumergir un objeto en un fluido

Question

¿Cómo se calcula el trabajo necesario para sumergir, por ejemplo, un objeto de madera en el agua?

Por ejemplo, se quiere sumergir un cubo de madera, de densidad 800 $\mathrm {kg/m^3}$ y la longitud del lado a \=0.2 m.

La forma en que lo estaba haciendo es calculando la fuerza de gravedad $G$ y la flotabilidad $U$ , entonces tengo la fuerza total $F=U-G$ . Luego, para obtener la longitud de la trayectoria a lo largo de la cual se debe aplicar esa fuerza, calculé el porcentaje del volumen del cubo que está dentro del fluido cuando está en equilibrio $(G=U)$ . Para ello obtuve 0,8, por lo que la longitud del camino es $s=0.2a$ y el trabajo necesario sería $W=F\times s$ .

Pero no consigo que el resultado sea correcto. ¿Qué me he perdido?

Answer 1

Un enfoque alternativo, que evita la integración, consiste en calcular el aumento de la energía potencial gravitatoria cuando el bloque desciende desde la posición de flotación (diagrama de la izquierda) hasta la posición recién sumergida (diagrama de la derecha) y el agua sube.

Al sumergir el bloque, el nivel del agua sube de $h_2$ à $h_3$ medido desde la base del contenedor, mientras que el fondo del bloque se mueve hacia abajo desde $h_1$ a la base. Por comodidad, asumo que el bloque sólo toca la base del contenedor cuando está apenas sumergido (diagrama de la derecha). La parte superior del bloque (gris) se desplaza para sustituir el agua que hay debajo del bloque (azul oscuro), mientras que esta agua se desplaza hacia arriba para provocar el aumento del nivel del agua. Todas las demás porciones de bloque o de agua permanecen en la misma posición, por lo que pueden ignorarse. Los volúmenes gris y azul oscuro son iguales.

La condición para que el bloque flote es
$\frac{h_2-h_1}{h_3}=\frac{\rho}{\rho_w}$
donde $\rho, \rho_w$ son las densidades del bloque y del agua respectivamente.

El CG del agua que se mueve hacia arriba es inicialmente $\frac12h_1$ y finalmente $\frac12(h_3+h_2)$ por encima de la base. El volumen de esta agua es el mismo en ambas posiciones, por lo que
$(h_3-h_2)(A-a)=h_1a$
donde $A, a$ son las áreas de la sección transversal del contenedor y del bloque, respectivamente.

El CG de la parte gris del bloque se desplaza hacia abajo por la distancia $h_3$ . El volumen de esta parte es $h_1a$ .

Las ecuaciones anteriores deberían ser suficientes para calcular el aumento global del GPE cuando el bloque está sumergido. Esto equivale al trabajo necesario para sumergir el bloque.

Si el bloque se sumerge en una gran masa de agua en lugar de en un contenedor, deberá aplicar el límite $\frac{a}{A} \to 0$ .

Answer 2

Se me ocurren al menos cuatro cosas que tendrías que aclarar/pensar antes de poder responder a esta pregunta:

1. ¿La "inmersión" comienza cuando el bloque toca el agua por primera vez, y termina cuando se sólo ¿sumergido?
2. ¿Podemos suponer que el bloque está orientado de manera que la superficie del cubo sea paralela a la superficie del agua?
3. ¿Esperamos que el nivel del agua suba al sumergir el cubo (ver la respuesta de Sammy Gerbil)
4. ¿Cómo cambia la fuerza de flotación a medida que se sumerge más el cubo?
5. ¿Cuál es el papel de la gravedad en todo esto? A medida que el cubo se mueve hacia abajo, la gravedad hará parte del trabajo. ¿Cuenta eso en el "trabajo realizado"?

Cuando hayas pensado en todas estas cosas, es posible que tú mismo puedas obtener la respuesta correcta.

Answer 3

No te enfades, yo también quiero ayudarte, pero estoy limitado por las normas de este sitio. Mira lo que tienes que hacer es equilibrar las fuerzas, bueno que lo hayas desarrollado hasta ahora. Esto me permite ayudarte más. El trabajo realizado es por la fuerza resultante y no solo por la fuerza de flotación, ya que aplicas la fuerza resultante pues el peso del objeto ya te está ayudando. $F_{resultant}=\rho_f ga^2x-\rho_wga^3$ . Ahora intente realizar el trabajo utilizando $\int F_{resultant}\mathrm{d}x$ dentro de los límites especificados.

Espero que esto no sea una respuesta. Sólo estoy aclarando una parte de un concepto erróneo.

Descargo de responsabilidad : Estoy añadiendo esta parte después de que el OP mostrara su trabajo.

El trabajo realizado se calcula como $$\int\mathrm{d}W=\int F_{resultant}\mathrm{d}x=\int_{0.8a}^{a}(\rho_f g a^2x-\rho_wga^3)\mathrm{d}x$$

Answer 4

Un objeto en general describe un área de sección transversal $A(\ell)$ donde $\ell$ es la distancia que ha sido empujada al agua; una buena regla general es $\int_0^L d\ell~A(\ell) = V,$ el volumen total del objeto, cuando está completamente sumergido a profundidad $L$ . Por supuesto, en su caso $A(\ell)$ es sólo una constante $A$ .

Para calcular el trabajo necesario para sumergir un objeto flotante en el agua, hay que resolver primero la profundidad de flotación de equilibrio $h$ , $$\rho_\text{obj}~V= \rho_\text{fluid} ~\int_0^hd\ell ~A(\ell),$$ y luego hay que sumergirlo más. A medida que se sumerja más, la fuerza necesaria aumentará con la cantidad de agua desplazada, $$F(x) = \rho_\text{fluid} ~g~\int_h^{h+x} d\ell ~A(\ell).$$ Debido a que esta fuerza no es constante para obtener el trabajo que debe integrar sobre la distancia que empuja el elemento de nuevo, $$W=\int dx~F(x) = \rho_\text{fluid} ~g~ \int_0^{L-h}dx~\int_h^{h+x}d\ell~A(\ell).$$

Para un área constante sólo debe obtener $A~x$ para la primera integral y por tanto $\frac12 A (L-h)^2$ para el segundo. Parece que has entendido esto pero no te has dado cuenta de que era una obra, no una fuerza.

Un escenario más realista para aproximar varios barcos es suponer $A(\ell) = \gamma~\ell$ para algún factor de inclinación lateral $\gamma$ Esto corresponde a un barco que es un prisma triangular. O, si quieres, puedes intentar modelar uno como un prisma formado por una parábola.