Serie para $\log 3$

Question

Tengo las siguientes series:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}\right)$$

Wolfram dice que esto es sólo $\log 3$ . He estado tratando de averiguar cómo funciona esto puramente a través de la manipulación de series (sin integrales, etc.).

He intentado dividirlo en varias series pero nada parece encajar bien porque el patrón es de 3 periodos. Las series que conozco para $\log$ que intentó primero fue:

$$\log(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k$$ quizás con $x=-\frac{2}{3}$ pero esto introduce poderes que no parecen naturales para derivar de la expresión original.

Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Dejemos que $H_n=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}}$ tenemos $$ \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}\right)=(H_{3n+3}-1)-\sum_{k=1}^n{\frac{3}{3k+3}}=(H_{3n+3}-1)-(H_{n+1}-1) $$ Desde $H_n=\ln n +\gamma+o(1)$ tienes $$ \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}\right)=\ln(3)+o(1) $$ y por lo tanto $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}\right)=\ln(3) $$

Answer 2

Vamos con la fuerza bruta: $$ \frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3} = \int_{0}^{1}x^{3k}(1+x-2x^2)\,dx $$ conduce a: $$ \sum_{k\geq 0}\left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}\right)=\int_{0}^{1}\frac{1+x-2x^2}{1-x^3}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx $$ donde el lado derecho es igual a $$ \left[\log(x^2+x+1)\right]_{0}^{1} = \color{red}{\log 3} $$ como se quería.

Answer 3

Tenemos que

$$\sum_{k=0}^{N} \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}\right)=\\=\sum_{k=0}^{N} \left(\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}\right)-\sum_{k=0}^{N} \left(\frac{1}{3k+3}+\frac{2}{3k+3}\right)=$$

$$=\sum_{k=0}^{3N} \frac{1}{k+1}-\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k+1}=\log (3N)-\log N+O\left(\frac1N\right) \to\log 3$$

Answer 4

En general, tenemos

$$\sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{nk+1}+\frac{1}{nk+2}+\frac{1}{nk+3}+\dots+\frac{1}{nk+n-1}-\frac{n-1}{nk+n})=\ln(n)$$ para cualquier número entero $n>1$ .

Compruebe si $n=3$ , obtendrá el resultado.

Consulte mi post relacionado .