¿Qué determina qué marcos son inerciales?

Question

Entiendo que se puede (en principio) medir si las "partículas libres" (sin fuerzas) experimentan aceleraciones para saber si un marco es inercial. Pero fundamentalmente, ¿qué determina qué marcos son inerciales (es decir, qué principio selecciona en qué marcos las partículas libres no parecerán acelerar)? Me han dicho que las microondas cósmicas determinan el último marco de reposo del universo, pero eso no tiene sentido para mí, ya que uno puede seguir preguntando por qué ese marco es un marco inercial.

Además, entiendo que no hay marcos inerciales reales en la relatividad general, pero parece que ciertamente existen marcos inerciales aproximados y podemos preguntarnos por qué esos marcos son aproximadamente inerciales y no otros. Por ejemplo, en el marco de una persona montada en un tiovivo, las partículas libres parecen acelerar mucho, mientras que en el marco de alguien que está de pie junto al tiovivo no se producen esas grandes aceleraciones. ¿Por qué el tipo (o la chica) que está en el tiovivo ve que las partículas libres se aceleran mientras que el otro tipo no lo hace?

Y si me vas a decir que es "el resto de las cosas del universo" lo que determina que la persona en el tiovivo vea acelerar las partículas libres, te preguntaré cómo sabes que todas esas cosas no están girando.

Espero que esta pregunta tenga algo de sentido, me ha estado molestando durante un tiempo y mi estudio de la relatividad (la mayor parte de la relatividad especial y sólo el esquema de la relatividad general) no me ha aclarado mucho.

Answer 1

Como dices, hay una definición operativa perfectamente sensata de un marco inercial: es aquel en el que las partículas libres se mueven con velocidad constante. Incluso en la relatividad general, tiene sentido hablar de marcos inerciales, pero sólo localmente. Para ser precisos, un marco inercial está bien definido sólo en una vecindad infinitesimal de un punto del espaciotiempo, aunque en la práctica es una aproximación sensata extender dicho marco a una vecindad finita, siempre que el tamaño sea pequeño en comparación con cualquier escala de longitud asociada a la curvatura del espaciotiempo.

El hecho de que existan marcos inerciales es esencialmente un axioma de la relatividad general. La teoría se basa en la idea de que el espaciotiempo tiene una cierta estructura geométrica, que permite la existencia de geodésicas, a lo largo de las cuales viajan las partículas libres. Dentro de una vecindad suficientemente pequeña, las geodésicas cercanas a un punto determinado "se parecen", con una buena aproximación, a las que se obtendrían en un marco inercial.

Así que no hay realmente una buena respuesta a la pregunta de por qué existen los marcos inerciales: es sólo parte del marco asumido de la teoría. Pero eso no es exactamente lo que has preguntado. Has preguntado si hay alguna razón por la que un determinado marco S es inercial y otro marco S' no lo es. Depende de lo que creas que es una razón. Para una determinada geometría del espaciotiempo, las geodésicas están bien especificadas (como soluciones a una determinada ecuación diferencial, o como curvas que tienen determinadas propiedades geométricas). Los marcos inerciales son los marcos que hacen que las geodésicas parezcan líneas rectas. Todo está terriblemente bien definido matemáticamente y es autoconsistente, pero puede no tener la sensación intuitiva de un "por qué".

Mencionas la posibilidad de que la razón sea "todas las demás cosas del universo". Como ya sabrá, esta idea tiene un noble pedigrí: recibe el nombre de principio de Mach. Al parecer, Einstein estaba bastante enamorado del principio de Mach cuando estaba ideando la relatividad general, y probablemente habría estado muy contento si la teoría tuviera la propiedad de que los marcos de inercia estuvieran determinados por toda la otra materia del Universo. Pero la relación de la relatividad general con el principio de Mach es, como mínimo, complicada y problemática. Por ejemplo, el viejo espaciotiempo plano de Minkowski es una solución perfectamente válida para las ecuaciones de la relatividad general. Esa solución tiene marcos inerciales bien definidos, aunque no haya materia alrededor para "causarlos".

Answer 2

En la relatividad especial, sólo se postula la existencia de los marcos inerciales. No hay nada de malo en ese planteamiento: son marcos en los que los objetos se moverán con velocidades constantes si no actúan fuerzas sobre ellos. Newton necesitó más o menos lo mismo para definir las leyes de la mecánica. Lo importante de la relatividad (tanto la galileana como la einsteiniana) es que si un marco es inercial, los demás marcos que se mueven uniformemente con respecto a este marco inercial son también marcos inerciales.

Esto es totalmente análogo a las líneas rectas en la geometría euclidiana. (Los marcos inerciales no son más que sistemas asociados a observadores cuyas líneas del mundo son líneas rectas en el espacio-tiempo; en realidad es lo mismo en un espacio diferente). Algunas líneas del papel son simplemente líneas rectas mientras que otras no lo son. También se podría preguntar cuál es el principio que selecciona qué líneas son rectas. Pues bien, el principio es el conjunto de axiomas de la geometría euclidiana. Hay que tener un sistema que nos permita decir cosas sobre los objetos geométricos, y poder decir si una línea es recta es una de las "herramientas" que debemos tener. Si describimos la geometría en coordenadas que llamamos cartesianas, entonces una línea recta viene dada por $ax+by+c=0$ .

Aquí no hay confusión, a menos que alguien intente producirla deliberadamente. Preguntar quién se ha atrevido a hacer que algunos sistemas sean inerciales y otros no, es análogo a preguntar por qué las matemáticas discriminan algunos números, porque algunos son primos y otros no. Pues bien, las matemáticas discriminan y tienen todo el derecho a hacerlo. El propósito mismo de las matemáticas -y de la ciencia- es discriminar todo el tiempo. Cada vez que hacemos una pregunta, queremos escuchar la respuesta correcta y discriminar todas las demás respuestas posibles, las incorrectas. La respuesta correcta discrimina inevitablemente: trata varios objetos o números de forma asimétrica. Ninguna matemática o ciencia podría funcionar si alguien exigiera la democracia permanente entre todos.

En la relatividad general, el espaciotiempo es curvo y un espaciotiempo curvo no contiene marcos de referencia -o sistemas de coordenadas- en los que el espacio se vería plano. Simplemente no es plano. Por tanto, en la relatividad general no hay marcos de referencia inerciales exactos. En la relatividad general, sólo se puede aproximar la noción de sistema inercial. Una posible definición es que un marco inercial es una buena aproximación para los fenómenos locales alrededor de los objetos que caen libremente. Si un ascensor cae libremente, se puede llamar "inercial" al marco asociado a este ascensor.

Sin embargo, aquí en la Tierra, no es la opción habitual. Solemos decir que el ascensor que cae libremente está acelerando, es decir, que no es inercial. Por el contrario, es el ascensor en reposo que no cae el que es inercial, aunque no esté asociado a la geodésica en la relatividad general. La elección del ascensor en caída tiene la ventaja de que no hay que incluir la fuerza gravitatoria entre las fuerzas que actúan sobre los objetos dentro del ascensor. Lo único que tienes que incluir es el choque que te matará: no es la caída libre sino la colisión con el suelo lo que se convierte en tu destino. :-)

Si se opta por que el sistema inercial esté vinculado al ascensor en reposo, hay que añadir la fuerza gravitatoria atractiva a las ecuaciones de todos los objetos de la Tierra. Por supuesto, eso hará que tu descripción de los fenómenos de alta velocidad, etc., sea un poco inexacta. Pero simplemente ocurre que los espacios-tiempo curvos -y los campos gravitatorios no triviales- no pueden describirse exactamente sólo con la relatividad especial (y sus marcos inerciales). Si esto fuera posible, no necesitaríamos la relatividad general. No es posible y necesitamos la relatividad general para describir la gravedad en el contexto relativista.

En el contexto cósmico más amplio, lejos del campo gravitatorio de la Tierra o del Sol, los marcos inerciales aproximados pueden ser definidos por los objetos que se mueven libremente. Uno de ellos será el marco asociado al fondo cósmico de microondas: el marco de esferas tal que el momento total que se esconde en los fotones del CMB que atraviesan la esfera en cada punto de la superficie de la esfera es cero. El marco del CMB determina no sólo cuál es la aceleración de fuga, sino también cuál es la velocidad de fuga.

Con este punto de referencia, se puede discutir el movimiento del Sol (y del Sistema Solar), de nuestra Galaxia, de los cúmulos y supercúmulos de galaxias a los que pertenecemos, etc., relativamente al marco cósmico del CMB. Esas velocidades son más o menos conocidas. Pero es útil recordar que estas velocidades no significan realmente que el marco del Sistema Solar esté lejos de ser inercial. Es porque las velocidades uniformes no estropean el carácter inercial del marco de referencia. Así que aunque el Sol se mueva relativamente al marco del CMB, por una velocidad bastante alta, el sistema asociado al Sol -y orientado adecuadamente en relación con algunas otras galaxias, etc. - es inercial con una enorme precisión.

Answer 3

Bueno, desde el punto de vista de un marco de referencia inercial, el momento angular y el momento lineal se conservan, y cuando no estás en un marco de referencia inercial, no se conservan.

Como ejemplo, considere que está en una nave espacial acelerando para alejarse de un sol solitario. (ignorando un universo en expansión por el momento). En tu marco de referencia, el sol se está acelerando lejos de ti, sin que haya nada que cause tal aceleración. El momento no se conserva desde tu marco de referencia, y por lo tanto, no estás en un marco de referencia inercial.

Espero que esto ayude.

Answer 4

En la relatividad general es el campo gravitatorio el que determina qué marco de referencia local son los marcos inerciales locales. Hablo de marcos "locales" porque, como has observado en tu pregunta, no hay marcos de referencia inerciales globales en el espaciotiempo curvo.

El campo gravitatorio se representa mediante un campo tensorial métrico. Dada dicha métrica, se pueden trazar las geodésicas temporales a través de cualquier evento. Estas son las trayectorias que maximizan localmente el tiempo propio integrado calculado mediante la métrica. Cualquier cosa que se mueva a lo largo de tal geodésica está en un marco inercial local.

El fondo cósmico de microondas no define un marco preferido desde el punto de vista de las ecuaciones del movimiento. Es sólo uno de los muchos marcos de referencia que se pueden encontrar en el universo mediante la observación. De hecho, hay muchos marcos de referencia diferentes que podrías definir basándote sólo en la radiación cósmica de fondo, y sólo coinciden en un universo perfectamente homogéneo, pero el universo no es localmente homogéneo. Además estos marcos de referencia no son en general marcos inerciales.

Answer 5

En la mecánica ordinaria, los marcos inerciales están definidos por observadores de velocidad constante. Esto sigue siendo cierto en GTR -experimentalmente, "movimiento inercial" significa "sin aceleración propia", que puede ser medida por un acelerómetro. El principio de equivalencia significa que, al menos localmente, los sistemas mecánicos actúan como si no hubiera gravedad, por lo que, a nivel conceptual, la RGT "hereda" los marcos inerciales de la mecánica ordinaria, aunque en un sentido más limitado.

Desde el punto de vista formal, es exactamente tan axiomático como la geometría euclidiana a la que te refieres más arriba. Digamos que tienes dos curvas que se cruzan en p en una variedad diferenciable, y en algunas coordenadas tienen la misma derivada en p, por lo que dices que están en la misma dirección. Las clases de equivalencia definen la espacio tangente en p (que también puede hacerse de otras formas), que es un espacio vectorial de "direcciones desde p". En particular, la velocidad de una partícula en algún punto no es más que el vector tangente de su curva en el espacio-tiempo (wordline).

Entonces, ¿cómo interpretamos que el movimiento inercial "tiene la misma velocidad"? Para ello, necesitamos poder comparar dos vectores entre los espacios tangentes de diferentes puntos . O, lo que es lo mismo, poder transportar vectores (y en general, tensores) de un punto a otro. El dispositivo matemático que nos permite hacer esto se llama conexión Y, como muchas cosas en matemáticas, es completamente general, con infinitas conexiones posibles en la misma variedad. El "movimiento inercial" o "geodésico" será entonces simplemente una curva cuyo vector tangente permanece igual cuando se transporta entre puntos infinitesimalmente cercanos.

Aquí es donde entra el postulado del GTR. Supongamos que es "compatible con la métrica", lo que significa que el producto interior entre dos vectores tampoco cambia cuando se transportan a lo largo de una curva. Supongamos también que la conexión es "libre de torsión", que es una forma elegante de decir que si transportas un vector alrededor de un pequeño bucle en el espaciotiempo de vuelta al punto de partida, entonces en primer orden no cambia. Resulta que estas condiciones determinan de forma única la conexión. (Por cierto, en el segundo orden el cambio en la operación de transporte del bucle define la curvatura de Riemann).

En otras palabras, GTR postula que las curvas de "velocidad constante" son exactamente las curvas de extensión de longitud dictadas por el tensor métrico $g_{\mu\nu}$ . Y al igual que los postulados euclidianos, es muy posible tomar una opción contradictoria. Por ejemplo, la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan no tiene los supuestos anteriores, y en sus términos de torsión permite el momento angular del espín y su gravitacional intercambio con el momento angular orbital, a diferencia del GTR.