NUEVO REPLANTEAMIENTO DE LA CUESTIÓN:
¿Es posible que en 1+1d QED la carga negativa del $\psi^\dagger$ ¿los campos aparecen sólo en el modelo cuántico cuando introducimos la relación de conmutadores para la cuantización? Y entonces, en el modelo de la electrodinámica clásica, sólo tenemos cargas positivas para $\psi$ y $\psi^*$ ?
Porque la ecuación de movimiento clásica para el cambio de espacio en E es: $\partial_1 E=e(\psi^*_R \psi_R+ \psi^*_L \psi_L) = e(|\psi_R|^2 + |\psi_L|^2) \equiv e\rho $ donde vemos que el campo eléctrico siempre aumenta yendo hacia la derecha, ya que todo lo que contribuye es + módulo? ¿Significa que toda la materia tiene carga positiva?
Está claro que en el modelo cuántico sí tenemos cargas negativas, ya que $Q\psi^\dagger= -\psi^\dagger$ . Así que no sé muy bien cómo comparar ambos casos, si me equivoqué en el caso clásico, o si este cambio brusco en la teoría aparece realmente en la cuantización (Si es así, ¿qué haría el límite clásico de la teoría? ¿Cambiarían de nuevo las cargas de los antifermiones?).
PREGUNTA ANTIGUA:
Me gustaría saber qué carga tienen las partículas y antipartículas en la QED en 1+1d, y su construcción, como por ejemplo cómo es realmente el operador de carga eléctrica? ¿Y de dónde viene en la lagrangiana? \begin{equation} \mathcal{L}= \bar{\psi} i(D_0 \gamma^0 + D_1 \gamma^1) \psi + \frac12F_{01}^2= \psi_R^* i (D_0+D_1) \psi_R + \psi_L^* i(D_0-D_1)\psi_L + \frac12E^2 \end{equation} con D la derivada covariante incluyendo el acoplamiento.
Porque hasta ahora sólo he podido calcular el vector ( $j_V^\mu$ ) y axial ( $j_A^\mu$ ) corrientes/cargas en el modelo, que en los estados quirales son:
\begin{equation} \begin{cases} j_V^0=\psi\rho_V= \vec{j}_A= \bar{\psi} \gamma^0 \psi = \begin{pmatrix} \psi_L^* & \psi^*_R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_R \\ \psi_L \end{pmatrix} = |\\psi_R|^2 + |\psi_L|^2 \\\\\N- j_V^1=\vec{j}_V = \rho_A= \bar{\psi} \gamma^1 \psi = \begin{pmatrix} \psi_L^* & \psi^*_R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_R \\ \psi_L \end{pmatrix} = |\psi_R|^2 - |\psi_L|^2 \fin{cas} |end{equation} y si ahora definimos las cargas de Noether como las típicas $ Q \equiv \int dx j^0$ con $\partial_t Q =0$ para las corrientes conservadas ( $\partial_\mu j^\mu=0$ ). Entonces tendremos: \begin{align} & \begin{cases} Q_R = \int \bar{\psi_R} \gamma^0 \psi_R \ dx= \int \psi_R^* \psi_R \ dx = \int |\psi_R|^2 \ dx \\ Q_L= \int \bar{\psi_L} \gamma^0 \psi_L \ dx= \int \psi_L^* \psi_L \ dx = \int |\psi_L|^2 \ dx \end{cases} \\ & \begin{cases} Q_V= \int \bar{\psi} \gamma^0 \psi \ dx= \int (|\psi_R|^2 + |\psi_L|^2) \ dx \\ Q_A= \int \bar{\psi} \gamma^1 \psi \ dx= \int (|\psi_R|^2 - |\psi_L|^2) \ dx \end{cases} \N - Etiqueta: Q_A \N - fin {align} pero sigo leyendo que hay fermiones con carga eléctrica negativa, y ahora mismo estoy súper saturado de no dormir bien, y no puedo pensar con claridad, pero sólo veo fermiones con carga positiva para todos los componentes, el fermión diestro y su antipartícula tienen ambos carga positiva $\rho_V$ y lo mismo ocurre con los fermiones de la mano izquierda...
El problema que tengo es que las ecuaciones de movimiento que obtengo: \begin{equation} \begin{cases} \partial_1 F^{10}= e j_V^0 = e \bar{\psi}\gamma^0 \psi \ \xrightarrow[]{} \ \ \partial_1 E = e (|\psi_R|^2 + |\psi_L|^2) \\ \partial_0 F^{01}= e j_V^1 = e \bar{\psi}\gamma^1 \psi \ \xrightarrow[]{} \ \ -\partial_0 E = e (|\psi_R|^2 - |\psi_L|^2)\\ i(\partial_0+\partial_1)\psi_R = e(A^0-A^1) \psi_R \ \text{ and } \ i(\partial_0+\partial_1)\psi_R^* = -e(A^0-A^1) \psi_R^* \\ i(\partial_0-\partial_1)\psi_L=e(A^0 + A^1)\psi_L \ \text{ and } \ i(\partial_0-\partial_1)\psi_L^*=-e(A^0 + A^1)\psi_L^*\\ \end{cases} \end{equation} que a partir de la primera ecuación, significa que el aumento del campo eléctrico es el mismo para cualquier $|\psi|$ ¡no importa si es diestro, zurdo o partícula/antipartícula porque todo lo que contribuye a cambiar la E en x, es un módulo positivo! Así que es como si todo tuviera una carga positiva, ¿no?
Creo que se me escapa algún punto súper importante, como confundir la carga eléctrica con la carga vectorial o algo así, pero ahora mismo no lo entiendo.
