¿Por qué la contribución de una trayectoria en el formalismo integral de trayectoria de Feynmans $\sim e^{(i/\hbar)S[x(t)]}$ ?

Question

En el libro "Quantum Mechanics and Path Integrals" Feynman & Hibbs afirman que

la probabilidad $P(b,a)$ para ir desde el punto $x_a$ en el momento $t_a$ al grano $x_b$ en el momento $t_b$ es $P(b,a) = \|K(b,a)\|^2$ de una amplitud $K(b,a)$ para pasar de $a$ à $b$ . Esta amplitud es la suma de las contribuciones $\phi[x(t)]$ de cada camino. $$ K(b,a) = \sum_{\text{paths from $ a $ to $ b $}} \phi[x(t)]$$ Las contribuciones de una trayectoria tienen una fase proporcional a la acción $S$ : $$ \phi[x(t)] = \text{const}\ e^{(i/\hbar)S[x(t)]}$$

¿Por qué la contribución de un camino debe ser $\sim e^{(i/\hbar)S[x(t)]}$ ? ¿Puede derivarse o explicarse de algún modo? ¿Por qué la contribución de un camino no puede ser otra cosa, por ejemplo $\sim \frac{S}{\hbar}$ , $\sim \cos(S/\hbar)$ , $\log(S/\hbar)$ o $e^{- (S[x(t)]/\hbar)^2}$ ?

Editar: Tengo que admitir que en la primera versión de esta pregunta, no excluía la posibilidad de derivar la contribución de una trayectoria directamente de la ecuación de Schrödinger. Así que las respuestas en esta línea son válidas aunque no tan interesantes. Creo que cuando Feynman desarrolló su formalismo su objetivo era encontrar una manera de cuantificar sistemas, que no pueden ser tratados por la ecuación de Schrödinger, porque no pueden ser descritos en términos de un Hamiltoniano (por ejemplo, la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman). Así que creo que una buena respuesta explicaría el Ansatz de Feynman sin referirse a la ecuación de Schrödinger, porque creo que la ecuación de Schrödinger sólo puede tratar un subconjunto específico de todos los sistemas que pueden ser tratados por el principio más general de Feynman.

Answer 1

Experimento Gedanken : Supongamos que sólo hay un camino físicamente disponible $x_i(t)$ Por ejemplo, un tubo muy largo y estrecho. En ese caso

$$K(b,a) = \sum_{\text{paths from $ a $ to $ b $}} \phi[x(t)]= \phi[x_i(t)]$$ y $|x_i(t)|^2=const.$ por lo que sólo se puede incluir la unidad, es decir $|\exp(ic)|=1.$

Answer 2

Esto estaba pensado para ser publicado como una pregunta, pero creo que puede ayudar a responder la tuya, y que la mía se responderá mirando el papel con calma.

El resultado es lógico, ya que corresponde a la trayectoria clásica en el límite $\hbar \to 0$ debido a la propiedad estacionaria de la acción, puedes encontrar esta explicación por ejemplo en el capítulo de "Métodos funcionales" de "An Introduction to Quantum Field Theory" de Peskin y Schroeder. Pero esta explicación es claramente una a posteriori .

Vi que Dirac había demostrado la existencia de un análogo cuántico a la acción que juega un papel en la transformación de coordenadas y momentos de un conjunto a otro en un momento futuro en su documento El lagrangiano en la mecánica cuántica pero parece que la presencia de la acción como pase de la función de onda es previa, ya que dice

Hemos encontrado aquí la extensión natural del conocido resultado de que la fase de la función de onda corresponde a la función principal de Hamilton (la integral de tiempo de la lagrangiana) en la teoría clásica.

Ahora, en el libro de Dirac Los principios de la mecánica cuántica En la sección 31, "El movimiento de los paquetes de ondas", considera un sistema con análogo clásico y dice

Suponemos que la función de onda dependiente del tiempo en la representación de Schrödinger es de la forma $$\psi(q, t) = A\mathrm{e}^{iS/\hbar}$$

a partir de este punto, utilizando una transformación unitaria sobre los momentos canónicos con $S$ como generador, encuentra en el límite clásico que

$$-\frac{\partial S}{\partial t} = H\left(q_r, \frac{\partial S}{\partial q_r} \right),$$ que permite a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi identificar $S$ con la acción, pero este resultado es claramente también a posteriori .

He rastreado el exponencial de la acción hasta el artículo de Schrödinger La cuantificación como problema de valores propios (Parte II) donde lo obtiene a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi, pero su razonamiento me pareció un poco oscuro desde el principio.

Creo que utilizando estas fuentes la respuesta queda más clara. Por último, en su tesis El principio de mínima acción en la mecánica cuántica En la sección III: Acción mínima en la mecánica cuántica, Feynman muestra que el "análogo cuántico" de la acción presente en $\phi$ es en muchos casos no sólo un análogo de la acción como dijo Dirac, sino exactamente la acción como la integral de tiempo de la Lagrangiana.