Convergencia fuerte de una subsecuencia en $W^{1,p}$

Question

Dejemos que $\{f_n\}$ sea una secuencia en $W^{1,p}(\mathbb{R}^2)$ .

• Si $\{f_n\}$ está acotada, entonces existe una subsecuencia que converge débilmente en $W^{1,p}(\mathbb{R}^2)$ . ¿También tenemos una fuerte convergencia en $W^{1,p}(\mathbb{R}^2)$ ?

• ¿Cuáles son las condiciones más débiles que se requieren para tener una fuerte convergencia?

Answer 1

Es falso incluso para $n=1$ . Tome $$f(x)=\begin{cases}0&\text{if }x\le -1\\x+1&\text{if }-1<x<0\\-x+1&\text{if }0\le x<1\\ 0&\text{if }x\ge 1\end{cases}.$$ El $f\in W^{1,p}(\mathbb{R})$ . Ahora toma $f_n(x):=f(x+n)$ Así que $f'_n(x+n)=f'(x+n)$ . Entonces por el cambio de variables $y=x+n$ tenemos que $$\Vert f_n\Vert_{L^p}=\Vert f\Vert_{L^p},\quad \Vert f_n'\Vert_{L^p}=\Vert f'\Vert_{L^p}>0.$$ Sin embargo, si se fija $x\in\mathbb{R}$ entonces para todos $n\ge 1-x$ se obtiene $f_n(x)=0\to 0$ como $n\to\infty$ . Así que la secuencia $\{f_n\}$ converge puntualmente a cero en $\mathbb{R}$ . Si converge fuertemente a alguna función $g$ en $W^{1,p}(\mathbb{R})$ entonces una subsecuencia convergería puntualmente a $g$ lo que significa que $g=0$ . Pero $\Vert f_n'-0\Vert_{L^p}=\Vert f'\Vert_{L^p}>0$ no llega a cero. En la dimensión dos se puede hacer algo similar.

Si desea una fuerte convergencia, para $p>1$ debe asumir que $\Vert f_n\Vert_{W^{1,p}(\mathbb{R}^2)}\to \Vert g\Vert_{W^{1,p}(\mathbb{R}^2)}$ , donde $g$ es el límite débil y utilizar el hecho de que la norma es estrictamente convexa. Ver aquí Enlace