El primer encuentro de la mayoría de los estudiantes con el concepto de "isomorfismo" -probablemente mucho antes de que aprendan la palabra- viene de reconocer que las reglas para sumar Impares y números pares tienen la misma estructura que las reglas para multiplicar números positivos y negativos: es decir, tenemos
$$\textrm{Even} + \textrm{Even} = \textrm{Even}$$ $$\textrm{Even} + \textrm{Odd} = \textrm{Odd}$$ $$\textrm{Odd} + \textrm{Odd} = \textrm{Even}$$
y también
$$\textrm{Positive} \times \textrm{Positive} = \textrm{Positive}$$ $$\textrm{Positive} \times \textrm{Negative} = \textrm{Negative}$$ $$\textrm{Negative} \times \textrm{Negative} = \textrm{Positive}$$
Estos dos conjuntos de reglas son estructuralmente "iguales", en el sentido de que si se sustituye "Par" por "Positivo", "impar" por "Negativo", y "+" por " $\times$ ", el primer conjunto de reglas pasa a ser idéntico al segundo.
Más formalmente, definimos esta "igualdad" como un isomorfismo, y decimos que los dos grupos $$\langle \{\textrm{Even}, \textrm{Odd} \}, + \rangle$$ y $$\langle \{\textrm{Positive}, \textrm{Negative} \}, \times \rangle$$
son isomorfos - y de hecho, ambos son isomorfos al grupo $\mathbb Z/(2)$ . Tenemos las siguientes correspondencias:
Pares y probabilidades
Aspectos positivos y negativos
$\mathbb Z_2$
Incluso
$\Longleftrightarrow$
Positivo
$\Longleftrightarrow$
0
impar
$\Longleftrightarrow$
Negativo
$\Longleftrightarrow$
1
$+$
$\Longleftrightarrow$
$\times$
$\Longleftrightarrow$
$+$ (módulo 2)
Pero $\mathbb Z/(2)$ no es sólo un grupo; también es un campo . Es decir, hay una operación de multiplicación en $\mathbb Z/(2)$ que corresponde a la multiplicación en $\{ \textrm{Even}, \textrm{Odd} \}$ y que puede expresarse mediante las siguientes reglas:
$$\textrm{Even} \times \textrm{Even} = \textrm{Even}$$ $$\textrm{Even} \times \textrm{Odd} = \textrm{Even}$$ $$\textrm{Odd} \times \textrm{Odd} = \textrm{Odd}$$
Mi pregunta es: ¿Cuál es la interpretación "natural" de esta operación, si es que la hay? en el contexto de los números positivos y negativos ? Es decir, ¿hay alguna operación (digamos $\boxdot$ ) sobre números enteros que obedece a las reglas
$$\textrm{Positive} \boxdot \textrm{Positive} = \textrm{Positive}$$ $$\textrm{Positive} \boxdot \textrm{Negative} = \textrm{Positive}$$ $$\textrm{Negative} \boxdot \textrm{Negative} = \textrm{Negative}$$
para poder rellenar la celda central de la fila inferior de la siguiente tabla?
Pares y probabilidades
Aspectos positivos y negativos
$\mathbb Z_2$
Incluso
$\Longleftrightarrow$
Positivo
$\Longleftrightarrow$
0
impar
$\Longleftrightarrow$
Negativo
$\Longleftrightarrow$
1
$+$
$\Longleftrightarrow$
$\times$
$\Longleftrightarrow$
$+$ (módulo 2)
$\times$
$\Longleftrightarrow$
????
$\Longleftrightarrow$
$\times$ (módulo 2)
