Aproximación discreta de la distribución continua, $P(X<Y)$

Question

No entiendo muy bien la probabilidad continua, pero se nos presentó, y estoy luchando con esta pregunta:

Supongamos que $X \sim \text{Geometric}(p)$ y $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ son variables independientes y aleatorias. Encontrar $P(X>Y)$

Sé que para $X \sim \text{Geo}(p)$ , $$P[X\ge i] = (1-p)^{i-1}$$ lo que significa $$P[X<i] = 1- (1-p)^{i-1}$$ También sé que para $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ , $$P[Y = k] = P[X = i] =(e^{-\lambda}) \lambda^i/i! $$

Mi suposición es crear algún tipo de equivalente de suma, pero no estoy seguro de cómo configurarlo y simplificarlo.

Tal vez algo como: $$\sum\limits_{x}^{\infty} \sum\limits_{y}^{\infty} (1- (1-p)^{y-1})(e^{-x}) \lambda^x/x!$$

¿Estoy en el camino correcto? ¿Cómo establezco los límites de la suma?

Answer 1

$P(X>Y)=\sum_{i>j} P(X=i)P(Y=j)=\sum_{i>j} p(1-p)^{i-1} e^{-\lambda}\frac {\lambda^{j}} {j!}$ . Se puede escribir esto como $ \sum\limits_{j=0}^{\infty} \sum\limits_{i=j+1}^{\infty} p(1-p)^{i-1} e^{-\lambda}\frac {\lambda^{j}} {j!}$ . La suma interior es una suma geométrica y su valor es $(1-p)^{j}$ . Finalmente se termina con la serie para $e^{\lambda (1-p)}$ multiplicado por $e^{-\lambda}$ así que la respuesta es $P(X>Y)=e^{-\lambda p}$ .