¿Por qué son necesarias las dimensiones adicionales?

Question

Algunas teorías tienen más de 4 dimensiones de espaciotiempo. Pero en el mundo real sólo observamos 4 dimensiones del espaciotiempo, cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

1. ¿Por qué las teorías (por ejemplo, la teoría de cuerdas) que requieren más dimensiones son tomadas en serio por los científicos?

2. ¿Hay alguna prueba de que estas dimensiones adicionales existen?

3. ¿Existe una explicación sencilla para la necesidad [o un fuerte indicio] de las dimensiones adicionales?

Answer 1

En realidad, vamos a intentarlo. Esto no es una prueba para dimensiones extra (la no observación de las dimensiones extra/supersimetría es una de las grandes razones por las que la teoría de cuerdas no es aceptada universalmente como verdadera, después de todo), pero este es un argumento de por qué las dimensiones extra pequeñas son inobservables.

Considere una partícula en una caja en la mecánica cuántica de $n$ dimensiones espaciales. Si se hace esto, entonces la ecuación de Schrödinger para un estado propio de energía pura se convierte (dentro de la caja):

$$E\psi = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi$$

Y donde se obliga a $\psi$ para que sea cero en todas partes fuera de la caja, y en el límite de la caja. Utilizando un montón de maquinaria de EDP que implica la separación de variables, encontramos que la única solución a esta ecuación es una suma infinita de términos que se parecen a

$$\psi=A\prod_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{m_{i}\pi x_{i}}{L_{i}}\right)$$

donde todos los $m$ son números enteros, y el $\Pi$ representa un producto con un término del seno para cada dimensión de nuestro espacio ${}^{1}$ . Introduciendo esto en la ecuación de Schrödinger nos dice que la energía de este estado es

$$E=\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}^{2}}{L_{i}^{2}}\right)$$

Ahora, supongamos que en la primera $d$ dimensiones, nuestra caja tiene una gran anchura $L$ , mientras que en el último $n-d$ dimensiones, nuestra caja tiene una anchura pequeña $\ell$ . Entonces, podemos dividir esta suma en

$$E=\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\sum_{i=1}^{d} \frac{m_{i}^{2}}{L^{2}}+\sum_{i=d+1}^{n} \frac{m_{i}^{2}}{\ell^{2}}\right)$$

Por lo tanto, ahora podemos ver lo que está sucediendo - si $L \gg \ell$ El coste de la energía es mucho mayor cuando se trata de desplazarse en las zonas más limitadas o más pequeñas. $n-d$ direcciones que las que hay al moverse en el sentido menos restringido $d$ dimensiones - las transiciones más pequeñas cuestan una energía proporcional al cuadrado inverso del tamaño de la dimensión. Al hacer que estas dimensiones sean lo suficientemente pequeñas, podemos garantizar que ningún experimento realizado por los seres humanos se ha acercado siquiera al umbral de energía necesario para inducir esta transición, lo que significa que la parte de la función de onda de una partícula asociada a estas dimensiones adicionales está obligada a permanecer como está, lo que las hace inobservables.

${}^{1}$ Por lo tanto, si $n=2$ Un estado típico sería algo así $\psi=A\sin(\frac{2\pi x}{L_{x}})\sin(\frac{5\pi y}{L_{y}})$

Answer 2

_Por qué teoría de supercuerdas necesita $9+1$ ¿dimensiones del espacio-tiempo?_ es una pregunta muy buena y fundamental. Desgraciadamente, es muy difícil responder a esta pregunta utilizando únicamente argumentos intuitivos para los profanos.

El culpable es el concepto de (mecánica cuántica) anomalía . En general, la presencia de anomalías haría que la versión cuántica de cualquier teoría clásica $^{1}$ matemáticamente inconsistente.

Resulta que las condiciones de cancelación de anomalías para la teoría de cuerdas (cuántica) son extremadamente restrictivas. Una de sus consecuencias es que las soluciones espacio-temporales planas de la teoría de supercuerdas (perturbativa, cuántica) deben ser $9+1$ dimensional.

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$^{1}$ El término teoría clásica aquí significa una teoría donde la constante de Planck $\hbar=0$ es cero. La versión clásica de la teoría de cuerdas puede vivir en cualquier dimensión del espaciotiempo.

Answer 3

Vamos a responder a sus preguntas por turnos

1. Las teorías que tienen más dimensiones se toman en serio, porque sus predicciones coinciden con la evidencia experimental. Por supuesto, el hecho de que vivamos en sólo 4 dimensiones limita tales ideas (aunque la idea de otra dimensión grande no se descarta por nuestra no observación directa de la misma (cf. Flatland (donde un objeto 3D entra en el mundo 2D), sino por el hecho de que tendríamos que observar socios escalares (con respecto a nuestro grupo de Lorentz 4D) de todas las partículas). Sin embargo, las teorías con dimensiones extra compactas pueden explicar la ruptura de la supersimetría (si existe SUSY), el hecho de que tengamos 3 generaciones de materia y por qué las generaciones tienen masas tan diferentes, o la razón por la que la gravedad es débil. Una de las predicciones clave de las etra dimensiones compactas es una "torre de salidas" de las partículas, con desdoblamientos de masa que dependen del tamaño de la dimensión extra. Las GUTs en dimensiones extra predicen un tiempo de vida del protón bastante "pequeño", por lo que se pueden abordar Hyper-Kamiokande .
2. Se podría "demostrar" que estas dimensiones adicionales existen, si una teoría con dimensiones adicionales fuera capaz de explicar las discrepancias dentro del Modelo Estándar de la Física de Partículas y/o el Modelo Estándar de la Cosmología. Entonces, habría que derivar una predicción distinta de la teoría que pudiera ser falsificada experimentalmente. Probar una teoría (o una característica de la misma) es algo difícil de hacer, especialmente si la característica es tan general como una dimensión extra.
3. En realidad, no hay necesidad ni un fuerte indicio de dimensiones adicionales. Una buena razón sería que uno puede tener una La Gran Teoría Unificada donde la ruptura de la simetría a alta escala se produce por el hecho de que la dimensión extra es compacta, en lugar de tener una ruptura de simetría espontánea donde un campo escalar desarrolla un valor de expectativa en el vacío. El frenado espontáneo a dos escalas diferentes (la escala GUT y la escala electrodébil) introduciría entonces muchas preguntas sobre la relación de las dos escalas y la teoría se volvería potencialmente inestable. Ya se han mencionado más razones para considerar las dimensiones adicionales en 1.

Answer 4

En un sentido abstracto, una "dimensión" es sólo un componente de un vector de estado. Por ejemplo, se puede hablar de un espacio de fase de 10 dimensiones que consta de 3 componentes para la posición, 3 para el momento lineal, 3 para el momento angular y 1 para la energía. También se puede hablar de un vector "evento" que incluye una dimensión adicional que representa el tiempo.

Hay buenas razones para creer que no existe una 4ª dimensión espacial completamente análoga a las 3 dimensiones espaciales con las que estamos familiarizados: si hubiera alguna forma de moverse perpendicularmente al espacio, entonces esto estaría ocurriendo todo el tiempo como resultado de la interacción con cualquier objeto que ya se estuviera moviendo en esa dirección. Por ejemplo, considere que un sistema de 4 cuerpos (gravitacional o electromagnético) nunca se mantendrá dentro de un plano una vez perturbado porque es un equilibrio inestable. Tal vez esa 4ª dimensión exista, pero tendría que tener una topología diferente, o tendría que haber algún tipo de fuerza restauradora que nos mantuviera confinados en nuestro hiperplano. Este último caso se ilustra con una mesa de billar: existe una tercera dimensión perpendicular a la mesa, pero las bolas están pegadas a la mesa debido a la gravedad y la fuerza de contrapeso la proporciona la propia mesa. Hay una excelente libro llamado Flatland que se puede descargar gratuitamente que aborda estas cuestiones de forma intuitiva y accesible.

Answer 5

La respuesta corta es: no hay ninguna prueba (es decir, ninguna evidencia experimental) hasta ahora.

La razón principal para considerar las teorías con dimensiones adicionales es que (muchas) teorías que son complicadas en 4D pueden ser reformuladas en términos más simples como una teoría con dimensiones adicionales, que se enrollan en círculos diminutos (o más generalmente diminutos colectores ) para que no las experimentemos como las otras dimensiones "grandes" (llamadas "no compactas"). Lo que se entiende por "más simple" es que, por ejemplo, una teoría con un solo (vector o tensor) campo (piense en una partícula) en dimensiones superiores se manifiesta como varios campos de diferentes tipos en dimensiones inferiores, y sus complicadas interacciones se describen geométricamente por la forma del colector de compactación . En física, a la gente le gusta la geometrización, ya que se puede argumentar que es más intuitiva.

Al tratar de formular una teoría que describa con precisión las interacciones de las partículas, uno se enfrenta a muchas posibilidades y las que se pueden formular con dimensiones adicionales son algo más sencillas. Así que esto se utiliza a menudo como principio rector para formular una correcto teoría, es decir, una teoría que no se contradice con los experimentos. Hay varios ejemplos que cumplen estos requisitos. Pero podría resultar que ninguna de estas teorías (con dimensiones adicionales) sobrevivirá cuando se reúnan más datos experimentales y se comparen con las predicciones de estas teorías.