Cómo calcular la derivada de $\sqrt{x}^{\sqrt{x}}$ ?

Question

Sé que tengo la respuesta final y sé que tengo que utilizar el logaritmo natural, pero estoy confundido acerca de por qué es.

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¿Podría alguien explicarlo paso a paso?

Answer 1

Dejemos que $y= \sqrt{x}^{\sqrt x}$ . Entonces $\ln(y) = \sqrt{x} \ln(\sqrt x) = \frac{1}{2} \sqrt x \ln(x)$ . Así que, $$ \frac{d}{dx} \ln(y) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2}\sqrt x\ln(x)\right) $$ $$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt x}{x} + \frac{1}{2\sqrt x}\ln(x) \right) $$ Así que, $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt x}{x} + \frac{1}{2\sqrt x}\ln(x) \right) = \frac{1}{2}\sqrt{x}^{\sqrt x}\left(\frac{\sqrt x}{x} + \frac{1}{2\sqrt x}\ln(x) \right) $$

Answer 2

La idea es convertir el problema en algo a lo que se puedan aplicar las reglas estándar (reglas del producto y de la cadena, por ejemplo) a funciones cuya derivada ya se conoce. Ahora bien, en tu caso tienes una función elevada a otra función -lo cual es complicado: no hay una "regla de exponenciación" para las derivadas, como tal (es decir, tanto la base como el exponente no son constantes-, sabes cómo tomar la derivada de $x^n$ y $ e^x $ - pero no de $x^x$ al menos sin alguna manipulación); pero $$ \ln ( a ^ b ) = b \ln a $$ Es decir, si se introduce un logaritmo en la ecuación, la exponenciación se convierte en multiplicación, por lo que podemos esperar utilizar la regla del producto.

Ahora, usted no tiene un $\ln$ en la pregunta - si introduces una, debes añadir al mismo tiempo, su inversa, una exponenciación:

$$ a^b = e^{\ln a^b } = e ^ { b \ln a }$$

Aunque parezca que estamos complicando las cosas, no es así: sabemos tomar la derivada de "e al algo" y la derivada del "ln de algo" - y la extraña exponenciación se ha convertido en un producto, para el que existe una regla de diferenciación...

Así que - escribe

$$ (\sqrt x )^{\sqrt x} = e ^ { \ln ( { \sqrt x } ^ { \sqrt x } )} = e^ { \sqrt x \ln ( \sqrt x) } $$ - la derivada de la función de la derecha será la derivada de la función de la izquierda (es decir, de la que tú quieras).

Ahora, la derivada de $$ e^{whatever}$$ es, por la regla de la cadena, $$ e ^ { whatever } ( derivative\ of\ whatever ). $$ Aquí "lo que sea" es $$ \sqrt x \ln ( \sqrt x )$$ ¿Estás bien, en este momento, o necesitas más ayuda?

*Edición - Para completar, aunque a riesgo de hacer esta larga respuesta demasiado larga... Otras respuestas aquí (en contra, quizás, de las apariencias) están haciendo lo mismo que ésta; la cuestión es usar un logaritmo para convertir una exponenciación en una multiplicación: si $$ y = {f(x)}^{g(x)},$$ entonces $$ \ln y = \ln \left({f(x)}^{g(x)}\right) = g(x) \ln f ( x ) ,$$ es decir, la exponenciación original a la derecha del lado igual se convierte en un producto, por lo que ahora se aplica la regla del producto.

En su caso, $g(x) = f(x) = \sqrt x$ ... Sea como sea, $g(x) \ln ( f(x) )$ es lo que se llamó "lo que sea" más arriba.

Tomando la derivada de ambos lados de la ecuación -y recordando la regla de la cadena- se obtiene (escribiéndola para que se parezca a la primera versión en esta respuesta) $$ {y'\over y} = derivative\ of\ whatever.$$ Multiplicación cruzada con $y$ se obtiene

$$ y' = y \ \cdot \ (derivative\ of\ whatever),$$ como en el caso de las respuestas sobre la "derivada logarítmica", ¡pero también en esta respuesta! Para ser explícito, con su $y$ , $$ y = {\sqrt x}^{\sqrt x} = e^{\sqrt x \ln \sqrt x }=e^{whatever},$$ por lo que los métodos son los mismos.

Resumiendo: (cualquiera de las dos versiones de) el método es útil si hay una exponenciación con base y exponente no constantes.

Answer 3

Dejar $y=\sqrt{x}^\sqrt{x}$ entonces $\ln{y}=\sqrt{x}\ln{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\ln{x}$ . Entonces toma $d(.)$ en ambos lados, tenemos:

$$ \frac{dy}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\ln{x}+x^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x})dx $$

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1+\frac{1}{2}\ln{x})=\frac{x^{\sqrt{x}-1}}{2}(1+\frac{1}{2}\ln{x}) $$

Answer 4

Observe que $\sqrt{x}^{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}\sqrt{x}}$ . Aplicando la regla de la cadena se obtiene la derivada: $$\left(\frac{1}{2}\sqrt{x}\right)\cdot x^{\frac{1}{2}\sqrt{x}-1}+(\ln x)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x^{\frac{1}{2}\sqrt{x}}.$$