Calcular la transformada de Fourier de $b(x) =\frac{1}{x^2 +a^2}$

Question

Necesito ayuda para calcular la transformada de Fourier de esta función

$$b(x) =\frac{1}{x^2 +a^2}\,,\qquad a > 0$$ Gracias.

Answer 1

Considere la función $f(x)=e^{-a|x|}$ . Entonces \begin{align*} \hat{f}(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|x|}e^{-i\omega x}\, dx= \int_{-\infty}^{0}e^{ax}e^{-i\omega x}\, dx+\int_{0}^{\infty}e^{-ax}e^{-i\omega x}\, dx = \\ &= \left[ \frac{e^{(a-i\omega)x}}{a-i\omega} \right]_{-\infty}^0-\left[ \frac{e^{-(a+i\omega)x}}{a+i\omega} \right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{a-i\omega}+\frac{1}{a+i\omega}=\frac{2a}{a^2+\omega^2} \end{align*} Ahora, por el foro de inversión, tenemos \begin{equation*} e^{-a|x|}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2a}{a^2+\omega^2}e^{i\omega x}\, d\omega \end{equation*} Cambio de signo en $x$ y multiplicando por $\frac{\pi}{a}$ Finalmente conseguimos \begin{equation*} \frac{\pi}{a} e^{-a|-x|}=\frac{\pi}{a} e^{-a|x|}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega x}}{a^2+\omega^2}\, d\omega \end{equation*} Así, \begin{equation*} \hat{b}(\omega)=\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|} \end{equation*}

Answer 2

Una forma de atacar esto es a través del teorema del residuo. Consideremos

$$\oint_C dz \frac{e^{i k z}}{z^2+a^2}$$

donde $C$ es un contorno semicircular en el semiplano superior de radio $R$ . Nótese que, para utilizar el teorema del residuo, esperamos que la integral sobre el arco circular desaparezca como $R \to \infty$ Sin embargo, esto sólo ocurre cuando $k > 0$ . (Dejo que el lector lo demuestre.) El residuo en el polo $z=i a$ es $e^{-k a}/(i 2 a)$ por lo que, por el teorema del residuo,

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{x^2+a^2} = i 2 \pi \frac{e^{-a k}}{i 2 a} = \frac{\pi}{a} e^{-a k}$$

cuando $k > 0$ . Cuando $k < 0$ Sin embargo, debemos utilizar el contorno semicircular en el semiplano inferior, en lugar del semiplano superior. Por lo tanto, ahora consideramos el polo en $z=-i a$ y la integral toma el valor $(\pi/a) e^{a k}$ cuando $k < 0$ . Si juntamos todo esto, tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{x^2+a^2} = \frac{\pi}{a} e^{- a |k|}$$