Encuentre la pdf , función de distribución de $X$ y $E[(X-2)^2]$

Question

Estaré muy agradecido si me pueden ayudar, esta es la pregunta:

Cuando una persona envía un correo electrónico, la probabilidad de que haya un archivo adjunto es de 0,5. Si hay un adjunto, el tamaño del archivo se distribuye exponencialmente con una media de 5 kbytes. Sea $X$ denotan el tamaño del archivo adjunto recibido . Encuentre la función de densidad de probabilidad, función de distribución de $X$ y $E[(X-2)^2]$ .

Pueden resolver esta pregunta, trataré de entenderla con sus respuestas. Hay algunas partes que no entiendo, y creo que puedo entenderlas mirando las respuestas. Muchas gracias.

Answer 1

Denote $Z$ una variable aleatoria Bernoulli con $p = \frac12$ y $Y$ una variable aleatoria exponencial con parámetro $\lambda = \frac15$ que representan el tamaño de un archivo adjunto si lo hay. Se supone que las dos variables son independientes, entonces el tamaño del anexo recibido viene dado por $X = ZY$ .

Por lo tanto, tenemos \begin{align*} t\geq 0, \mathbb{P}(X \leq t) &= \mathbb{P}(ZY \leq t) \\ &= \mathbb{P}(ZY \leq t, Z=0) + \mathbb{P}(ZY \leq t, Z=1)\\ &= \frac{1}{2}(1 + \mathbb{P}(Y \leq t))\\ &= \frac{1}{2}(1 + 1 - \exp(-t/5))\\ &= 1 - \frac12\exp(-t/5))\\ \end{align*} En la segunda igualdad utilizamos la independencia. Así que la función de densidad es $f(x) = \frac{1}{10}\exp(-x/5)1_{x\geq0}$

Answer 2

Dejemos que $A$ en caso de que haya un archivo adjunto en el mensaje de correo electrónico. Entonces, $X$ es igual a $Z$ con probabilidad $0.5$ y es cero con probabilidad $0.5$ . En otras palabras, $X$ es una mezcla de una masa puntual en cero y una continua $Z$ con una densidad de tipo exponencial. Función de distribución de $X = 1_{A}Z$ es:

$$ P(X \le x) = P( Z\le x|A)P(A)+ P( X\le x|A^c)P(A^c)= \\ 0.5(1-e^{-\lambda x}) + 0.5 = 1-0.5e^{-\lambda x}, \text{ where } \lambda=1/5. $$

Entonces, $EX = \int_0^\infty P(X>x)dx= \int_0^\infty 0.5e^{-\lambda x}dx = 0.5/\lambda=2.5$ . Tenga en cuenta que $X=0$ con probabilidad $0.5$ para que ese valor no contribuya a la media. Nótese que la parte continua de X tiene una densidad $0.5 \lambda e^{-\lambda x}$ y por lo tanto $VX=0.5/\lambda^2=12.5$ .

Además, $E(X-2) = EX-2=0.5$ y $E(X-2)^2 = EX^2-4EX+4= VX + (EX)^2 - 4EX+4 = 12.75.$